Lösung: Wendepunkte: Unterschied zwischen den Versionen

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H-Methode , VZW des Krümmungsverhaltens
 
H-Methode , VZW des Krümmungsverhaltens
  
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  <math>f_a^{''} ( a + 2  - h ) = e^{a + 2 - (a + 2 - h )}\cdot ( a + 2 - h - a - 2 )</math><br />
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  <math>\lim_{h\to 0}f_a^{''} ( a + 2  - h ) = \lim_{h\to 0}e^{a + 2 - (a + 2 - h )}\cdot ( a + 2 - h - a - 2 )</math><br />
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                                           <math>= e^{h }\cdot ( -h )</math><br />
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                                           <math>= \lim_{h\to 0}e^{h }\cdot ( -h )</math><br />
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                                           <math>= -h\cdot e^{h }</math><br />
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                                           <math>= \lim_{h\to 0}-h\cdot e^{h }</math><br />
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  <math>\lim_{h\to 0}f_a^{''} ( a + 2 - h )<0</math>
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  <math>f_a^{''} ( a + 2 + h ) = e^{a + 2 - (a + 2 + h )}\cdot ( a + 2 + h - a - 2 )</math><br />
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                                          <math>= e^{a + 2 - a- 2 - h }\cdot (+ h)</math><br />
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                                          <math>= e^{-h }\cdot ( +h )</math><br />
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                                          <math>= +h\cdot e^{-h }</math><br />
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                                          lim h --> 0 ............
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<math>\lim_{h\to 0}f_a^{''} ( a + 2 +  h ) =\lim_{h\to 0} e^{a + 2 - (a + 2 + h )}\cdot ( a + 2 + h - a - 2 )</math><br />
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                                          <math>=\lim_{h\to 0} e^{a + 2 - a- 2 - h }\cdot (+ h)</math><br />
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                                          <math>= \lim_{h\to 0}e^{-h }\cdot ( +h )</math><br />
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                                          <math>= \lim_{h\to 0}+h\cdot e^{-h }</math><br />
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<math>\lim_{h\to 0}f_a^{''} ( a + 2 +  h )>0</math>
 
   
 
   
 
<math>\rightarrow</math>  VZW bei <math>x = a + 2\;</math><br />
 
<math>\rightarrow</math>  VZW bei <math>x = a + 2\;</math><br />
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<math>\rightarrow</math>  WP <math>( a + 2 / 2 )\;</math>
 
<math>\rightarrow</math>  WP <math>( a + 2 / 2 )\;</math>
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==== 2. Möglichkeit ====
 
==== 2. Möglichkeit ====

Version vom 21. Januar 2010, 22:25 Uhr

y = f_a (x) = ( x - a )\cdot e^{a+2-x} mit x\in R ; a\in R

Inhaltsverzeichnis

Wendepunkte

Zweite Ableitung: siehe Überprüfung des Extrempunkts; 2. Möglichkeit

f_a^{''} (x) = e^{a+2-x}\cdot ( x - a - 2 )

Um mögl. Wendepunkte zu bestimmen benötigt man die zweite Ableitung.

Mögl. Wendepunkte tretten für f_a^{''} (x) = 0\; auf. 

f_a^{''} (x) = 0\;

e^{a+2-x}\cdot ( x - a - 2 ) = 0    \;\;\;\;\;\; | \; e^{a+2-x} > 0

    \rightarrow \; ( x - a - 2 ) = 0 \;\;\;\;\;\; | \;  + 2 ; + a

               x = a + 2\;

Möglicher Wendepunkt bei x = a + 2 \; 


f_a ( a + 2 ) = ( a + 2 - a )\cdot e^{a+2-(a + 2 )}

                       = 2\cdot e^{a+2-a - 2 )}

                       = 2\cdot e^0

                       = 2\;

\rightarrow mög. WP \; ( a + 2 / 2 )


Überprüfung des Wendepunkts

1. Möglichkeit

H-Methode , VZW des Krümmungsverhaltens 

\lim_{h\to 0}f_a^{''} ( a + 2  - h ) = \lim_{h\to 0}e^{a + 2 - (a + 2 - h )}\cdot ( a + 2 - h - a - 2 )

                                          =\lim_{h\to 0} e^{a + 2 - a- 2 + h }\cdot (- h)

                                          = \lim_{h\to 0}e^{h }\cdot ( -h )

                                          = \lim_{h\to 0}-h\cdot e^{h }

\lim_{h\to 0}f_a^{''} ( a + 2 -  h )<0

\lim_{h\to 0}f_a^{''} ( a + 2 +  h ) =\lim_{h\to 0} e^{a + 2 - (a + 2 + h )}\cdot ( a + 2 + h - a - 2 )

                                          =\lim_{h\to 0} e^{a + 2 - a- 2 - h }\cdot (+ h)

                                          = \lim_{h\to 0}e^{-h }\cdot ( +h )

                                          = \lim_{h\to 0}+h\cdot e^{-h }

\lim_{h\to 0}f_a^{''} ( a + 2 +  h )>0

\rightarrow VZW bei x = a + 2\;
\rightarrow Wendepunkt bei \;( a + 2 / 2 )


zur Verdeutlichung

Krümmungsverhalten
x<2+a x=2+a x>2+a
ea + 2 - x + +
( x - a - 2 ) - +
fa ( x ) - +

\rightarrow WP ( a + 2 / 2 )\;

2. Möglichkeit

Verwendung der dritten Ableitung

f_a (x) = e^{a+2-x}\cdot ( x - a)

f_a^{'} (x) = e^{a+2-x}\cdot ( 1+a-x )

f_a^{''} (x) = e^{a+2-x}\cdot ( x - a - 2 )


Um die dritte Ableitung zu bekommen muss man hier die Produktregel verwenden. [Hilfe zur Produktregel] 

f_a^{'''} (x) = e^{a+2-x}\cdot ( x - a - 2 )\cdot (-1) + 1\cdot e^{a+2-x}

                               = e^{a+2-x}\cdot ( a + 2 - x + 1 )

                               = ( a + 3 - x )\cdot e^{a+2-x}

Wenn die dritte Ableitung am möglichen Wendepunkt ungleich Null ist, liegt ein Wendepunkt vor. 

f_a^{'''} ( a + 2 ) = ( a + 3 - ( a + 2 ))\cdot e^{a + 2 - ( a + 2 )}

                                     = ( a + 3 - a - 2 ) \cdot e^{a + 2 -  a - 2 }

                                     = 1\cdot e^{0}

                                     = 1\;
 
                                     > 0\;

\rightarrow WP ( a + 2 / 2 )\;

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