Lineare Ungleichungen: Unterschied zwischen den Versionen
(→Intervallschreibweise) |
(→Umformunsregeln) |
||
| Zeile 58: | Zeile 58: | ||
== <span style="color: darkblue">Umformunsregeln</span>== | == <span style="color: darkblue">Umformunsregeln</span>== | ||
| + | Im Grunde gelten für gelten für Ungleichungen die gleichen Äquvivalenzumformungen wie bei linearen Gleichungen bis auf eine Ausnahme...<br /> | ||
| + | |||
| + | * Auf beiden Seiten eine gleiche Zahl (Term) addieren oder subtrahieren...<br /> | ||
| + | |||
| + | 2x - 4 > 8 + x | + 4<br /> | ||
| + | 2x - 4 <span style="color: orange">+ 4</span> > 8 <span style="color: orange">+ 4</span> + x<br /> | ||
| + | 2x > 12 + x | - x<br /> | ||
| + | 2x <span style="color: blue">- x</span> > 12 + x <span style="color: blue">- x</span><br /> | ||
| + | x > 12<br /> | ||
| + | |||
| + | |||
| + | * Beide Seiten mit einer gleichen '''positiven''' Zahl (Term) multiplizieren oder durch sie teilen...<br /> | ||
| + | |||
| + | <math>\frac{x}{2}</math> < 8 | * 2<br /> | ||
| + | <math>\frac{x}{2}</math> <span style="color: orange">* 2</span> < 8 <span style="color: orange">* 2</span><br /> | ||
| + | x < 16<br /> | ||
| + | |||
| + | |||
| + | * Beide Seiten mit der gleichen '''negativen''' Zahl (Term) multiplizieren oder durch sie teilen und das '''Ungleichheitszeichen umdrehen'''...<br /> | ||
| + | |||
| + | -4x < 6 | : (-4)<br /> | ||
| + | -4x <span style="color: ornage">: (-4)</span> < 6 <span style="color: orange">: (-4)</span><br /> | ||
| + | x < <math>\frac{-3}{2}</math> | ||
== <span style="color: darkblue">Aufgaben</span>== | == <span style="color: darkblue">Aufgaben</span>== | ||
Version vom 31. Dezember 2009, 14:04 Uhr
Im Prinzip haben wir es beim Unterpunkt "Schnittpunkt" des vorigen Kapitels mit einer Ungleichung zu tun gehabt. Da wir eine Grafik zur Veranschaulichung hatten, konnten wir die Fragestellung mithilfe des Schnittpunktes finden. Wollen/Können wir die Lösung nicht anhand einer Zeichnung festmachen, so muss man die Aufgabe mit einer Ungleichung lösen!
Inhaltsverzeichnis |
Lösen einer Ungleichung
Jonas: Ab welcher Minute ist Tarif B teurer als Tarif A?
Wir fragen also: Für welche x-Werte ist Tarif B größer als Tarif A?
Tarif A: f (x) = 0,2x
Tarif B: f (x) = 0,3x - 10
Auswählen eines Ungleichheitszeichens: > "größer als" < "kleiner als" 
"größer gleich" 
"kleiner gleich"
Ungleichung aufstellen: Tarif B > Tarif A; 0,3x - 10 > 0,2 x
nach x auflösen: 0,1x > 10; x > 100
Für alle x-Wert, die größer sind als 100, ist Tarif B größer als Tarif A. Also ist Tarif B ab der 101. Minute teurer!
Lösungsmenge & Intervall
Um die Lösung in mathematischer Schreibweise und nicht als ganzen Satz angeben zu können, gibt es hier zwei Möglichkeiten...
Lösungsmenge
L 
x | x > 100
(lies: "Menge aller Zahlen, die größer sind als 100")
Der Zahlenstrahl veranschaulicht diese Menge...
Wegen des > - Zeichens gehört die Zahl 100 nicht mehr zur Menge und wird mit einem unausgefüllten Kreis dargestellt.
anderes Beispiel: L x | x 100 (lies: " Menge aller Zahlen, die kleiner oder gleich 100 sind")
> & < - Zeichen schließen eine Zahl aus!
& - Zeichen schließen die jeweilige Zahl mit ein!
Arbeitsauftrag 1: Fasse die Lösungsmenge L x | x 100 in Bezug auf die Tarife A & B in Worte!
Intervallschreibweise
I = 
100;
(lies: "Das Intervall von ausschließlich Hundert bis plus Unendlich")
Die Richtungen der Klammern geben an, ob eine Zahl ein-oder ausgeschlossen ist...
Nach innen geöffnet schließt sie eine Zahl in das Intervall ein
Nach außen geöffnet schließt sie eine Zahl aus dem Intervall aus
("plus Unendlich) & 
("minus Unendlich") sind immer ausgeschlossen!
Arbeitsauftrag 2: Gib die Lösungsmenge L x | x 100 in Intervallschreibweise ohne - oder -Zeichen an!
Umformunsregeln
Im Grunde gelten für gelten für Ungleichungen die gleichen Äquvivalenzumformungen wie bei linearen Gleichungen bis auf eine Ausnahme...
- Auf beiden Seiten eine gleiche Zahl (Term) addieren oder subtrahieren...
2x - 4 > 8 + x | + 4
2x - 4 + 4 > 8 + 4 + x
2x > 12 + x | - x
2x - x > 12 + x - x
x > 12
- Beide Seiten mit einer gleichen positiven Zahl (Term) multiplizieren oder durch sie teilen...
< 8 | * 2
* 2 < 8 * 2
x < 16
- Beide Seiten mit der gleichen negativen Zahl (Term) multiplizieren oder durch sie teilen und das Ungleichheitszeichen umdrehen...
-4x < 6 | : (-4)
-4x : (-4) < 6 : (-4)
x < 
