Lineare Ungleichungen

Im Prinzip haben wir es beim Unterpunkt "Schnittpunkt" des vorigen Kapitels mit einer Ungleichung zu tun gehabt. Da wir eine Grafik zur Veranschaulichung hatten, konnten wir die Lösung mithilfe des Schnittpunktes finden. Wollen/Können wir die Lösung nicht anhand einer Zeichnung festmachen, so muss man die Aufgabe mit einer Ungleichung lösen!

Lösen einer Ungleichung

Jonas: Ab welcher Minute ist Tarif B teurer als Tarif A?

→ Wir fragen also: Für welche x-Werte ist Tarif B größer als Tarif A?

Tarif A: f (x) = 0,2x Tarif B: f (x) = 0,3x - 10 Auswählen eines Ungleichheitszeichens: > "größer als" < "kleiner als" $\ge$ "größer gleich" $\le$ "kleiner gleich" Ungleichung aufstellen: Tarif B > Tarif A; 0,3x - 10 > 0,2 x nach x auflösen: 0,1x > 10; x > 100 → Für alle x-Wert, die größer sind als 100, ist Tarif B größer als Tarif A. Also ist Tarif B ab der 101. Minute teurer!

Arbeitsauftrag 1: Wann ist Tarif A nicht günstiger als Tarif B? Stelle eine Ungleichung auf!

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Arbeitsauftrag:

• Tarif A $\ge$ Tarif B; 0,2 $\ge$ 0,3x - 10
  

Hier muss die Fragestellung genau beachtet werden: "nicht günstiger" schließt den Wert, an dem die beiden Tarife gleich viel kosten, mit ein! Deshalb das $\ge$ - Zeichen.
Ein > - Zeichen stünde bei der Fragestellung "Wann ist Tarif A teurer als Tarif B?".

Eine Ungleichung verbindet zwei Terme durch ein Ungleichheitszeichen: >, $\ge$, <, $\le$

Lösungsmenge & Intervall

Um die Lösung in mathematischer Schreibweise und nicht als ganzen Satz angeben zu können, gibt es hier zwei Möglichkeiten...

Lösungsmenge

L $\lbrace$x | x > 100$\rbrace$ (lies: "Menge aller Zahlen, die größer sind als 100")

Der Zahlenstrahl veranschaulicht diese Menge...

Wegen des > - Zeichens gehört die Zahl 100 nicht mehr zur Menge und wird mit einem unausgefüllten Kreis dargestellt.

anderes Beispiel: L $\lbrace$x | x $\le$ 100$\rbrace$ (lies: " Menge aller Zahlen, die kleiner oder gleich 100 sind")

> & < - Zeichen schließen eine Zahl aus!
${\color{red}\ge}$ & ${\color{red}\le}$ - Zeichen schließen die jeweilige Zahl mit ein!

Arbeitsauftrag 1: Fasse die Lösungsmenge L $\lbrace$x | x $\le$ 100$\rbrace$ in Bezug auf die Tarife A & B in Worte und trage das auf deinem Arbeitsblatt ein!

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Arbeitsauftrag:

• Für alle x-Werte kleiner gleich 100 liegt der Graph von Tarif B unter dem von Tarif A. D.h. bis (einschließlich) zur 100. Gesrpächsminute ist Tarif B günstiger!

Die Lösungsmenge L $\lbrace$x | x < c$\rbrace$ (L $\lbrace$x | x > c$\rbrace$, L $\lbrace$x | x $\ge$ c$\rbrace$, L $\lbrace$x | x $\le$ c$\rbrace$): Menge aller Zahlen , die größer (kleiner, größer gleich, kleiner gleich) als eine Zahl c sind, sind.

---

Intervallschreibweise

I = $\lbrack$100;$\infty$ $\lbrack$ (lies: "Das Intervall von ausschließlich Hundert bis plus Unendlich")

Die Richtungen der Klammern geben an, ob eine Zahl ein-oder ausgeschlossen ist...
Nach innen geöffnet schließt sie eine Zahl in das Intervall ein.
Nach außen geöffnet schließt sie eine Zahl aus dem Intervall aus.
→ $\infty$ ("plus Unendlich) & $-\infty$ ("minus Unendlich") sind immer ausgeschlossen!

Arbeitsauftrag 2: Gib die Lösungsmenge L $\lbrace$x | x $\le$ 100$\rbrace$ in Intervallschreibweise mit nur "ausschließenden" Klammern an!

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Arbeitsauftrag:

• I $=$ $\rbrack$ $-\infty$ ; 101 $\lbrack$
  

Da ausschließende Klammern verwendet werden sollen, muss man 1 zum aktuellen Wert dazuaddieren. 101 ist nun ausgeschlossen - so ändert sich an der Menge, die 100 als letzten Wert enthält, nichts.

I = $\lbrack$ a;b $\rbrack$ ( I = $\lbrack$ a;b $\lbrack$, I = $\rbrack$ a;b $\rbrack$, I = $\rbrack$ a;b $\lbrack$ ): Die Menge aller Zahlen von einschließlich a bis einschließlich b (einschließlich...ausschließlich, ausschließlich...einschließlich, ausschließlich...ausschließlich) +$\infty$ & -$\infty$ sind ausgeschlossen!

Umformunsregeln

Im Grunde gelten für Ungleichungen die gleichen Äquvivalenzumformungen wie bei linearen Gleichungen. Bis auf eine Ausnahme...

• Auf beiden Seiten eine gleiche Zahl (Term) addieren oder subtrahieren...
  

2x - 4 > 8 + x 2x - 4 + 4 > 8 + 4 + x 2x > 12 + x 2x - x > 12 + x - x x > 12

$|$ +4 $|$ -x

• Beide Seiten mit einer gleichen positiven Zahl (Term) multiplizieren oder durch sie teilen...
  

$\textstyle\frac{x}{2}$ < 8 $\textstyle\frac{x}{2}$ · 2 < 8 · 2 x < 16

$|$ · 2

• Beide Seiten mit der gleichen negativen Zahl (Term) multiplizieren oder durch sie teilen und das Ungleichheitszeichen umdrehen...
  

-4x < 6 -4x : (-4) > 6 : (-4) x > $\textstyle\frac{-3}{2}$

$|$ : (-4)

Beim Multiplizieren & Dividieren einer negativen Zahl wird das Ungleichheitszeichen umgedreht!

Zusammenfassung

Die Lösung kann entweder als Lösungsmenge oder Intervall dargestellt werden:

I = [ a;b ] ( I = [ a;b [, I = ] a;b ], I = ] a;b [ )
L {x | x < c} (L {x | x > c}, L {x | x $\ge$ c}, L {x | x $\le$ c}

Geschlossene Klammern bzw. $\ge$ & $\le$ schließen ein!
Geöffnete Klammern bzw. > & < schließen aus!

Umformungsregeln

Auf beiden Seiten...
...die gleiche Zahl addieren oder subtrahieren.
...mit der gleichen positiven Zahl multiplizieren oder durch sie dividieren.
...mit der gleichen negativen Zahl multiplizieren oder durch sie dividieren und das Ungleichheitszeichen umdrehen!

Aufgaben

1. Löse die folgenden Ungleichungen zeichnerisch!

a) 3x - 1 < x
b) 2(1 + x) > 2
c) 4x $\ge$ -x + 0,5

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a) b) c)

2. Markiere folgende Intervalle auf einem Zahlenstrahl!

a) I = $\lbrack$ -5;2 $\rbrack$
b) I = $\lbrack$ 0;$\infty$ $\lbrack$
c) I = $\rbrack$ -100;500 $\lbrack$

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a)
b)
c)

3. Gib die Lösungen der Ungleichungen als Intervall & Lösungsmenge an!

a) -3(x - 5) $\ge$ 4(2 - 2x)
b) 2,75x $\le$ 2,5 + 10,25x
c) 2(3 + x) + 2(2 - x) < -(x - 1)

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a)
erst ausmultiplizieren!: -3x + 13 $\ge$ 8 - 8x
5x $\ge$ -55
x $\ge$ -1
I $=$ $\rbrack$ -1;$\infty$ $\rbrack$
L $=$ $\lbrace$x $|$ x $\ge$ -1 $\rbrace$

b)
2,75x $\le$ 2,5 + 10,25x
-7,5x $\le$ 2,5 $|$:(-7,5)
x $\ge$ $\textstyle-\frac{1}{3}$
I $=$ $\rbrack$ $\textstyle-\frac{1}{3}$;$\infty$ $\rbrack$
L $=$ $\lbrace$x $|$ x $\ge$ $\textstyle-\frac{1}{3}$ $\rbrace$

c)
erst ausmultiplizieren!: 6 + 2x + 4 - 2x < -x + 1
10 < -x + 1
x < -9
I $=$ $\lbrack$ $- \infty$ ;-9 $\rbrack$
L $=$ $\lbrace$x $|$ x < -9 $\rbrace$

4. Suche die Fehler, die beim Lösen der Ungleichungen gemacht wurden!

a) $\textstyle\frac{1}{6}$ x + 8 > $\textstyle\frac{1}{4}$ x |- $\textstyle\frac{1}{4}$ x $\textstyle\frac{1}{2}$ x + 8 > 0 |-8 $\textstyle\frac{1}{2}$ x > -8 |·2 x > -16

b) -3x - 6 $\le$ 15 |+6 -3x $\le$ 21 |:(-3) x $\le$ 7

c) -25x - 1 < -1 |+1 -25x < 0 |:(-25) x > -25

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a)
$\textstyle\frac{1}{6}$ x + 8 > $\textstyle\frac{1}{4}$ x
${\color{red}\textstyle\frac{1}{2}}$ x + 8 > 0
$\textstyle-\frac{1}{12}$ x + 8 > 0
$\textstyle-\frac{1}{12}$ x > -8 $|$: ($\textstyle-\frac{1}{12}$)
x < 96

b)
-3x - 6 $\le$ 15
-3x $\le$ 21 $|$:(-3)
x ${\color{red}\le}$ 7
x $\ge$ 7

c)
-25x - 1 < -1
-25x < 0 $|$:(-25)
x > ${\textstyle\color{red}25}$
x > 0

5. Berechne je einen Punkt, der unterhalb, oberhalb bzw. auf der Geraden zu folgenden Gleichungen liegt! Überprüfe dein Ergebnis zeichnerisch!

a) y = 7x - 21 (oberhalb)
b) y = 4,5 + 9x (unterhalb)
c) y = -2x + 24 (auf der Geraden)

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a)
oberhalb: y > 7x - 21
beliebiges x wählen: (z.B. x $=$ 2) y > 7·2 - 21
y > 14 - 21
y > -7
y mit y $\in$ I $=$ $\lbrack$ -7;$\infty$ $\rbrack$
wählen: (z.B. y $=$ - 2)
P (2 $|$ -2)

b)
unterhalb: y < 4,5 + 9x
beliebiges x wählen: (z.B. x $=$ 4) y < 4,5 + 9·4
y < 4,5 + 36
y < 40,5
y mit y $\in$ I $=$ $\lbrack$ $- \infty$;40,5 $\rbrack$
wählen: (z.B. y $=$ 3)
P (4 $|$ 3)

c)
auf der Geraden: y $=$ -2x + 24
beliebiges x wählen: (z.B. x $=$ 3) y $=$ -2·3 + 24
y $=$ -6 + 24
y $=$ 18
P (3 $|$ 18)

a) b) c)

6. Es gibt in einer Klasse m Mädchen und j Jungen. Gib die folgenden Aussagen als Ungleichung wieder!

a) Es gibt mehr Jungen als Mädchen.
b) Es gibt weniger Mädchen als die doppelte Anzahl an Jungen.
c) Es gibt mindestens dreimal so viel Jungen wie Mädchen.
d) Es gibt höchstens so viele Mädchen wie die Anzahl der Jungen minus 10.

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a) j > m
b) m < 2j
c) j $\ge$ 3m
d) m $\le$ j - 10

7. Für die Jahresabschlussfeier einer Schule stehen 1000 € zur Verfügung, wobei die kalkulierten Gesamtkosten für die Veranstaltung 2500 € betragen.
a) Wie hoch muss bei 500 Besuchern der Eintrittspreis sein, wenn mindestens 500 € Gewinn gemacht werden sollen?
b) Wie viele Besucher müssen bei einem Eintrittspreis von 5 € mindestens kommen, damit die Kosten wenigstens gedeckt sind?

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a)
einzunehmendes Geld: 1000€ (steht zur Verfügung) - 2500€ (Ausgaben) + x (Einnahmen) $\ge$ 500€
-1500€ + x $\ge$ 500€
x $\ge$ 2000€
→ Es müssen mindestens 2000€ eingenommen werden, um einen Gewinn von mindestens 500€ zu erzielen!
Eintrittspreis: 500·x $\ge$ 2000€
x $\ge$ 4€
→ Der Eintrittspreis muss also mindestens 4€ pro Person betragen!

b)
einzunehmendes Geld: 1000€ (steht zur Verfügung) - 2500€ + x $\ge$ 0
-1500€ + x $\ge$ 0
x $\ge$ 1500€
→ Es müssen mindestens 1500€ eingenommen werden, damit die Kosten gedeckt sind!
Anzahl der Besucher: 5€·x $\ge$ 1500€
x $\ge$ 300
→ Es müssen mindestens 300 Besucher zur Veranstaltung kommen!

Super! Den Hauptteil des Lernpfades hast jetzt du geschafft... Weiter geht´s nach einer kleinen Pause mit weiterführenden Aufgaben und einem kleinen Test!