Übungen zu Kehrsatz: Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 13. Dezember 2008, 16:53 Uhr

Hole dir das Übungsblatt zum Kehrsatz zum Satz des Pythagoras und zur Diagonalenberechnung

a) [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

b) [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

k ist die längste Seite, also müsste sie auch die Hypotenuse sein
Satz des Pythagoras ansetzen
${k^2=i^2+h^2\,}$
${(1,7cm)^2=(0,95cm)^2+(1,5cm)^2\,}$
${2,89cm^2=3,1525cm^2\,}$
Der Satz des Pythagoras ist nicht erfüllt, da die Gleichung einen Widerspruch ergibt
Das Dreieck ist also nicht rechtwinklig

c) [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

i ist die längste Seite, also müsste sie auch die Hypotenuse sein
Satz des Pythagoras ansetzen
${i^2=h^2+k^2\,}$
${(4,3cm)^2=(2,6cm)^2+(1,8cm)^2\,}$
${18,49cm^2=10cm^2\,}$
Der Satz des Pythagoras ist nicht erfüllt, da die Gleichung einen Widerspruch ergibt
Das Dreieck ist also nicht rechtwinklig

d) [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

a) [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

Um den Satz des Pythagoras zu testen, muss man zunächst die Länge der fehlenden Seiten berechnen
Das Dreieck lässt sich in zwei kleinere rechtwinklige Dreiecke zerlegen
In diesen rechtwinkligen Dreiecken darf man den Satz des Pythagoras ansetzen
${c^2=h_c^2+s^2\,}$
$c=\sqrt{h_c^2+s^2}$
$c=\sqrt{(8cm)^2+(4cm)^2}=\sqrt{80}cm \approx 8,94cm$

Da man nun alle Seiten kennt, kann man den Satz des Pythagoras für das Dreieck $\triangle{ABC}$ ansetzen
b ist die längste Seite, also müsste sie die Hypotenuse sein
${b^2=a^2+c^2\,}$
${(23,60cm)^2=(\sqrt{320}cm)^2+(8,94cm)^2\,}$
${556,96cm^2=399,9236cm^2\,}$
Der Satz des Pythagoras ergibt einen Widerspruch
Das Dreieck $\triangle{ABC}$ ist also nicht rechtwinklig

b) [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

Um den Satz des Pythagoras zu testen, muss man zunächst die Länge der fehlenden Seiten berechnen
Das Dreieck lässt sich in zwei kleinere rechtwinklige Dreiecke zerlegen
In diesen rechtwinkligen Dreiecken darf man den Satz des Pythagoras ansetzen
${a^2=h_c^2+t^2\,}$
$a=\sqrt{h_c^2+t^2}$
$a=\sqrt{(\sqrt{19}cm)^2+(1cm)^2}=\sqrt{20}cm \approx 4,47cm$

Da man nun alle Seiten kennt, kann man den Satz des Pythagoras für das Dreieck $\triangle{ABC}$ ansetzen
c ist die längste Seite, also müsste sie die Hypotenuse sein
${c^2=a^2+b^2\,}$
$(20cm)^2=(\sqrt{20}cm)^2+(\sqrt{380}cm)^2$
${400cm^2=400cm^2\,}$
Der Satz des Pythagoras ergibt eine wahre Aussage
Das Dreieck $\triangle{ABC}$ ist also rechtwinklig

[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

Um die Diagonale zu berechnen betrachtet man das rechtwinklige Dreieck $\triangle{BDH}$
Die Strecke ${[BD]\,}$ ist noch unbekannt und man muss sie berechnen
Hierfür betrachtet man das rechtwinklige Dreieck $\triangle{ABD}$
Man setzt den Satz des Pythagoras an
$(\overline{BD})^2=(\overline{AB})^2+(\overline{AD})^2$
$(\overline{BD})^2=a^2+b^2$
$\overline{BD}=\sqrt{a^2+b^2}$
$\overline{BD}=\sqrt{(5cm)^2+(9cm)^2}=\sqrt{106}cm \approx 10,30cm$

Damit kann man den Satz des Pythagoras im rechtwinkligen Dreieck $\triangle{BDH}$ anwenden
$d^2=(\overline{BD})^2+(\overline{DH})^2$
$d^2=(\overline{BD})^2+h^2$
$d=\sqrt{(\overline{BD})^2+h^2}$
$d=\sqrt{(10,3cm)^2+(12cm)^2}=\sqrt{250,09}cm \approx 15,81cm$
Die Raumdiagonale d ist also etwa 15,81cm lang

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 *<math>t=\sqrt{(8cm)^2-(\sqrt{320}cm)^2}=\sqrt{384}cm \approx 19,60cm</math><br /><br />
-*<math>{b=s+t=4cm+19,60cm=23,60cm</math><br /><br />
+*<math>{b=s+t=4cm+19,60cm=23,60cm\,}</math><br /><br />
 *Da man nun alle Seiten kennt, kann man den Satz des Pythagoras für das Dreieck <math>\triangle{ABC}</math> ansetzen
 *b ist die längste Seite, also müsste sie die Hypotenuse sein
 *<math>{b^2=a^2+c^2\,}</math>
-*<math>{(23,60cm)^2=(\sqrt{320}cm)^2+(8,94cm)^2</math>
+*<math>{(23,60cm)^2=(\sqrt{320}cm)^2+(8,94cm)^2\,}</math>
 *<math>{556,96cm^2=399,9236cm^2\,}</math>
 *Der Satz des Pythagoras ergibt einen Widerspruch
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 *<math>t=\sqrt{(\sqrt{380}cm)^2-(\sqrt{19}cm)^2}=\sqrt{361}cm=19cm</math><br /><br />
-*<math>{c=s+t=19cm+1cm=20cm</math><br /><br />
+*<math>{c=s+t=19cm+1cm=20cm\,}</math><br /><br />
 *Da man nun alle Seiten kennt, kann man den Satz des Pythagoras für das Dreieck <math>\triangle{ABC}</math> ansetzen
 *c ist die längste Seite, also müsste sie die Hypotenuse sein
 *<math>{c^2=a^2+b^2\,}</math>
-*<math>{(20cm)^2=(\sqrt{20}cm)^2+(\sqrt{380}cm)^2</math>
+*<math>(20cm)^2=(\sqrt{20}cm)^2+(\sqrt{380}cm)^2</math>
 *<math>{400cm^2=400cm^2\,}</math>
 *Der Satz des Pythagoras ergibt eine wahre Aussage