2006 IV: Unterschied zwischen den Versionen
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+ | neben Laplace-Würfeln auch spezielle Vegas-Würfel verwendet werden, die | ||
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+ | Würfel zeigen die Augenzahl „6“ mit der erhöhten Wahrscheinlichkeit <math>\frac{1}{3}</math> , | ||
+ | während die anderen Augenzahlen untereinander gleich wahrscheinlich sind. | ||
;Aufgabe 1 | ;Aufgabe 1 | ||
+ | Zeigen Sie, dass der Erwartungswert der Zufallsgröße „Augenzahl beim einmaligen Werfen eines Vegas-Würfels“ 4 ist. | ||
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+ | ;Aufgabe 2 | ||
+ | Auf dem Tisch liegen ungeordnet drei Laplace-Würfel und ein Vegas-Würfel. Ein Spieler nimmt davon zufällig drei Würfel und wirft sie gleichzeitig. | ||
+ | Mit welcher Wahrscheinlichkeit erzielt er drei gleiche Augenzahlen, wenn er drei Laplace-Würfel genommen hat? Mit welcher Wahrschein-lichkeit erzielt er drei gleiche Augenzahlen, wenn er zwei Laplace-Würfel und den Vegas-Würfel genommen hat? | ||
+ | Welche Folgerung können Sie aus Ihren Ergebnissen bezüglich der stochastischen Abhängigkeit der Ereignisse „Er erzielt drei gleiche Augenzahlen“ und „Er nimmt drei Laplace-Würfel“ ziehen? | ||
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+ | ;Aufgabe 3 | ||
+ | Um bei einem Würfel festzustellen, ob es sich um einen Laplace- oder Vegas-Würfel handelt, wird er 100 mal geworfen. Ein Vegas-Würfel soll mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 99 % als solcher eingestuft werden. | ||
+ | ;a) | ||
+ | Bestimmen Sie hierzu die Entscheidungsregel anhand der Anzahl der geworfenen Sechser so, dass möglichst auch ein Laplace-Würfel richtig eingestuft wird. | ||
+ | [Ergebnis: Entscheidung für Vegas-Würfel ab 23 geworfenen Sechsern] | ||
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+ | [[Bild:jsucb_3a.jpg]] | ||
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+ | Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird bei dieser Entscheidungsregel ein Laplace-Würfel falsch eingestuft? | ||
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+ | <tr><td width="800px" valign="top"> | ||
+ | Eine Packung des Spiels enthält – ungeordnet und äußerlich nicht unter-scheidbar – 7 Laplace- und 3 Vegas-Würfel. | ||
+ | ;Aufgabe 4 | ||
+ | Aus dieser Packung wird ein Würfel entnommen und 100-mal geworfen. Mit welcher Wahrschein¬lichkeit handelt es sich um einen Vegas-Würfel, wenn dabei 25-mal eine „6“ geworfen wird? | ||
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+ | Die 10 Würfel werden nun einzeln nacheinander aus der Packung ent-nommen und je 100-mal geworfen. | ||
+ | ;a) | ||
+ | Die Zufallsgröße X bezeichne die Anzahl der geworfenen Sechser unter den insgesamt 1000 durchzuführenden Würfen. Berechnen Sie Erwartungs¬wert und Varianz von X. | ||
+ | [Ergebnis: <math>E(X)=216\frac{2}{3}, Var(X) = 163\frac{8}{9}</math> ] | ||
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+ | ;b) | ||
+ | Die Zufallsgröße X ist näherungsweise normalverteilt. Berechnen Sie mit Hilfe der Normalverteilung, mit welcher Wahrscheinlichkeit bei den 1000 Würfen mehr als 225-mal eine „6“ geworfen wird. | ||
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+ | [[Bild:5b.jpg]] | ||
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+ | <center><table border="0" width="800px" cellpadding=5 cellspacing=15> | ||
+ | <tr><td width="800px" valign="top"> | ||
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+ | ;Aufgabe 6 | ||
+ | Bei einem Spiel werden jeweils 5 Würfel geworfen. Aus den Augen-zahlen – aufgefasst als Ziffern – werden möglichst große fünfstellige natürliche Zahlen gebildet, z. B. 43321, nicht jedoch 34312. | ||
+ | ;a) | ||
+ | Mit welcher Wahrscheinlichkeit erhält man eine Zahl größer als 50000, wenn es sich um 5 Laplace-Würfel handelt? | ||
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+ | [[Bild:6a.jpg]] | ||
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+ | ;b) | ||
+ | Wie viele verschiedene natürliche Zahlen können nach dieser Spiel-regel gebildet werden? Wählen Sie aus den folgenden kombina-torischen „Modellen“ zunächst das für dieses Problem passende aus und bestimmen Sie dann mit dessen Hilfe die gesuchte Anzahl. | ||
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+ | A) Anzahl der fünfstelligen Zahlen aus den Ziffern 1 bis 6 dividiert durch die Zahl der Permutationen von 5 Elementen | ||
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+ | B) Zahl der möglichen Verteilungen von 5 Kugeln auf 6 Urnen, wobei es nur auf die jeweilige Anzahl der Kugeln in den Urnen ankommt | ||
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+ | C) Zahl der möglichen Verteilungen von 6 Kugeln auf 5 Urnen, wobei es nur auf die jeweilige Anzahl der Kugeln in den Urnen ankommt | ||
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+ | [[Bild:6b.jpg]] | ||
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Aktuelle Version vom 11. April 2010, 16:51 Uhr
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Zeigen Sie, dass der Erwartungswert der Zufallsgröße „Augenzahl beim einmaligen Werfen eines Vegas-Würfels“ 4 ist. |
Auf dem Tisch liegen ungeordnet drei Laplace-Würfel und ein Vegas-Würfel. Ein Spieler nimmt davon zufällig drei Würfel und wirft sie gleichzeitig. Mit welcher Wahrscheinlichkeit erzielt er drei gleiche Augenzahlen, wenn er drei Laplace-Würfel genommen hat? Mit welcher Wahrschein-lichkeit erzielt er drei gleiche Augenzahlen, wenn er zwei Laplace-Würfel und den Vegas-Würfel genommen hat? Welche Folgerung können Sie aus Ihren Ergebnissen bezüglich der stochastischen Abhängigkeit der Ereignisse „Er erzielt drei gleiche Augenzahlen“ und „Er nimmt drei Laplace-Würfel“ ziehen? |
Um bei einem Würfel festzustellen, ob es sich um einen Laplace- oder Vegas-Würfel handelt, wird er 100 mal geworfen. Ein Vegas-Würfel soll mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 99 % als solcher eingestuft werden.
Bestimmen Sie hierzu die Entscheidungsregel anhand der Anzahl der geworfenen Sechser so, dass möglichst auch ein Laplace-Würfel richtig eingestuft wird. [Ergebnis: Entscheidung für Vegas-Würfel ab 23 geworfenen Sechsern]
Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird bei dieser Entscheidungsregel ein Laplace-Würfel falsch eingestuft? |
Eine Packung des Spiels enthält – ungeordnet und äußerlich nicht unter-scheidbar – 7 Laplace- und 3 Vegas-Würfel.
Aus dieser Packung wird ein Würfel entnommen und 100-mal geworfen. Mit welcher Wahrschein¬lichkeit handelt es sich um einen Vegas-Würfel, wenn dabei 25-mal eine „6“ geworfen wird? |
Die 10 Würfel werden nun einzeln nacheinander aus der Packung ent-nommen und je 100-mal geworfen.
Die Zufallsgröße X bezeichne die Anzahl der geworfenen Sechser unter den insgesamt 1000 durchzuführenden Würfen. Berechnen Sie Erwartungs¬wert und Varianz von X.
[Ergebnis:
Die Zufallsgröße X ist näherungsweise normalverteilt. Berechnen Sie mit Hilfe der Normalverteilung, mit welcher Wahrscheinlichkeit bei den 1000 Würfen mehr als 225-mal eine „6“ geworfen wird. |
Bei einem Spiel werden jeweils 5 Würfel geworfen. Aus den Augen-zahlen – aufgefasst als Ziffern – werden möglichst große fünfstellige natürliche Zahlen gebildet, z. B. 43321, nicht jedoch 34312.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit erhält man eine Zahl größer als 50000, wenn es sich um 5 Laplace-Würfel handelt?
Wie viele verschiedene natürliche Zahlen können nach dieser Spiel-regel gebildet werden? Wählen Sie aus den folgenden kombina-torischen „Modellen“ zunächst das für dieses Problem passende aus und bestimmen Sie dann mit dessen Hilfe die gesuchte Anzahl. A) Anzahl der fünfstelligen Zahlen aus den Ziffern 1 bis 6 dividiert durch die Zahl der Permutationen von 5 Elementen B) Zahl der möglichen Verteilungen von 5 Kugeln auf 6 Urnen, wobei es nur auf die jeweilige Anzahl der Kugeln in den Urnen ankommt C) Zahl der möglichen Verteilungen von 6 Kugeln auf 5 Urnen, wobei es nur auf die jeweilige Anzahl der Kugeln in den Urnen ankommt |