Lösung: Wendepunkte: Unterschied zwischen den Versionen
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<math>f_a^{''} (x) = e^{a+2-x}\cdot ( x - a - 2 )</math> | <math>f_a^{''} (x) = e^{a+2-x}\cdot ( x - a - 2 )</math> | ||
− | Um | + | Um mögliche Wendepunkte zu bestimmen benötigt man die zweite Ableitung. |
− | + | Die zweite Ableitung einer Funktion beschreibt das Krümmungsverhalten dieser. Dieses ändert sich für <math>f_a^{''} (x) = 0\;</math> und deshalb könnte ein möglicher Wendepunkt auftreten. | |
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− | + | :::::: <math>f_a^{''} (x) = 0\;</math><br /> | |
+ | : <math>e^{a+2-x}\cdot ( x - a - 2 ) = 0 \;\;\;\;\;\; | \; e^{a+2-x} > 0</math><br /> | ||
+ | :: <math> \rightarrow \; ( x - a - 2 ) = 0 \;\;\;\;\;\;\;\; | \; + 2 ; + a</math><br /> | ||
+ | :::::: <math>x = a + 2\;</math><br /> | ||
− | + | Möglicher Wendepunkt bei <math>x = a + 2 \; </math><br /> | |
− | + | Einsetzen des möglichen Wendepunkts in die Funktion. | |
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+ | : <math>f_a ( a + 2 ) = ( a + 2 - a )\cdot e^{a+2-(a + 2 )}</math><br /> | ||
+ | :::: <math> = 2\cdot e^{a+2-a - 2 )}</math><br /> | ||
+ | :::: <math> = 2\cdot e^0</math><br /> | ||
+ | :::: <math> = 2\;</math><br /> | ||
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<math> \rightarrow </math> mög. WP <math>\; ( a + 2 / 2 )</math> | <math> \rightarrow </math> mög. WP <math>\; ( a + 2 / 2 )</math> | ||
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− | + | Wenn es einen Vorzeichenwechsel (VZW) des Krümmungsverhaltens der Funktion am möglichen Wendepunkt gibt, kann man von einem Wendepunkt sprechen. | |
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− | <math>\lim_{h\to 0}f_a^{''} ( a + 2 + h ) =\lim_{h\to 0} e^{a + 2 - (a + 2 + h )}\cdot ( a + 2 + h - a - 2 )</math><br /> | + | '''I.<br />''' |
− | + | : <math>\lim_{h\to 0}f_a^{''} ( a + 2 - h ) = \lim_{h\to 0}e^{a + 2 - (a + 2 - h )}\cdot ( a + 2 - h - a - 2 )</math><br /> | |
− | + | ::::::: <math>=\lim_{h\to 0} e^{a + 2 - a- 2 + h }\cdot (- h)</math><br /> | |
− | + | ::::::: <math>= \lim_{h\to 0}e^{h }\cdot ( -h )</math><br /> | |
− | + | ::::::: <math>= \lim_{h\to 0}-h\cdot e^{h }</math><br /> | |
+ | <math>\lim_{h\to 0}f_a^{''} ( a + 2 - h )<0</math> | ||
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+ | <math>\rightarrow</math> An der Stelle <math>\lim_{h\to 0}f_a^{''}( a +2+ h )\;</math> ist der Graph linksgekrümmt.(I) | ||
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+ | '''II.'''<br /> | ||
+ | : <math>\lim_{h\to 0}f_a^{''} ( a + 2 + h ) =\lim_{h\to 0} e^{a + 2 - (a + 2 + h )}\cdot ( a + 2 + h - a - 2 )</math><br /> | ||
+ | ::::::: <math>=\lim_{h\to 0} e^{a + 2 - a- 2 - h }\cdot (+ h)</math><br /> | ||
+ | ::::::: <math>= \lim_{h\to 0}e^{-h }\cdot ( +h )</math><br /> | ||
+ | ::::::: <math>= \lim_{h\to 0}+h\cdot e^{-h }</math><br /> | ||
+ | <math>\lim_{h\to 0}f_a^{''} ( a + 2 + h )>0</math> | ||
− | <math>\rightarrow</math> VZW bei <math>x = a + 2\;</math><br /> | + | <math>\rightarrow</math> An der Stelle <math>\lim_{h\to 0}f_a^{'}(a+2-h )\;</math> ist der Graph rechtsgekrümmt.(II) |
− | <math>\ | + | |
+ | |||
+ | Aus (I) und (II) folgt:<br /> | ||
+ | VZW bei <math>x = a + 2\;</math><br /> | ||
+ | <math>\Rightarrow</math> Wendepunkt bei <math>\;( a + 2 / 2 )\;</math> | ||
− | <u>zur Verdeutlichung</u> | + | <u>zur Verdeutlichung:</u> |
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<math>\rightarrow</math> WP <math>( a + 2 / 2 )\;</math> | <math>\rightarrow</math> WP <math>( a + 2 / 2 )\;</math> | ||
− | ==== 2. Möglichkeit ==== | + | ==== 2. Möglichkeit; 3.Ableitung ==== |
Verwendung der dritten Ableitung | Verwendung der dritten Ableitung | ||
− | <math>f_a (x) = e^{a+2-x}\cdot ( x - a)</math> | + | <math>f_a (x) = e^{a+2-x}\cdot ( x - a)</math><br /> |
− | <math>f_a^{'} (x) = e^{a+2-x}\cdot ( 1+a-x )</math> | + | <math>f_a^{'} (x) = e^{a+2-x}\cdot ( 1+a-x )</math><br /> |
− | <math>f_a^{''} (x) = e^{a+2-x}\cdot ( x - a - 2 )</math> | + | <math>f_a^{''} (x) = e^{a+2-x}\cdot ( x - a - 2 )</math><br /> |
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[[http://de.wikipedia.org/wiki/Produktregel Hilfe zur Produktregel]] | [[http://de.wikipedia.org/wiki/Produktregel Hilfe zur Produktregel]] | ||
− | + | : <math>f_a^{'''} (x) = e^{a+2-x}\cdot ( x - a - 2 )\cdot (-1) + 1\cdot e^{a+2-x}</math><br /> | |
− | + | ::: <math>= e^{a+2-x}\cdot ( a + 2 - x + 1 )</math><br /> | |
− | + | ::: <math>= ( a + 3 - x )\cdot e^{a+2-x}</math><br /> | |
Wenn die dritte Ableitung am möglichen Wendepunkt ungleich Null ist, liegt ein Wendepunkt vor. | Wenn die dritte Ableitung am möglichen Wendepunkt ungleich Null ist, liegt ein Wendepunkt vor. | ||
− | + | : <math>f_a^{'''} ( a + 2 ) = ( a + 3 - ( a + 2 ))\cdot e^{a + 2 - ( a + 2 )}</math><br /> | |
− | + | :::: <math>= ( a + 3 - a - 2 ) \cdot e^{a + 2 - a - 2 }</math><br /> | |
− | + | :::: <math>= 1\cdot e^{0}</math><br /> | |
− | + | :::: <math>= 1\;</math><br /> | |
− | + | :::: <math>> 0\;</math><br /> | |
+ | |||
<math>\rightarrow</math> WP <math>( a + 2 / 2 )\;</math> | <math>\rightarrow</math> WP <math>( a + 2 / 2 )\;</math> |
Aktuelle Version vom 26. Januar 2010, 20:43 Uhr
mit
;
Inhaltsverzeichnis |
Wendepunkte
Zweite Ableitung: siehe Überprüfung des Extrempunkts; 2. Möglichkeit
Um mögliche Wendepunkte zu bestimmen benötigt man die zweite Ableitung.
Die zweite Ableitung einer Funktion beschreibt das Krümmungsverhalten dieser. Dieses ändert sich für und deshalb könnte ein möglicher Wendepunkt auftreten.
Möglicher Wendepunkt bei
Einsetzen des möglichen Wendepunkts in die Funktion.
mög. WP
Überprüfung des Wendepunkts
1. Möglichkeit; H-Methode
Wenn es einen Vorzeichenwechsel (VZW) des Krümmungsverhaltens der Funktion am möglichen Wendepunkt gibt, kann man von einem Wendepunkt sprechen.
I.
An der Stelle
ist der Graph linksgekrümmt.(I)
II.
An der Stelle
ist der Graph rechtsgekrümmt.(II)
Aus (I) und (II) folgt:
VZW bei
Wendepunkt bei
zur Verdeutlichung:
x<2+a | x=2+a | x>2+a | |||
---|---|---|---|---|---|
ea + 2 - x | + | + | |||
( x - a - 2 ) | - | + | |||
fa ( x ) | - | + |
WP
2. Möglichkeit; 3.Ableitung
Verwendung der dritten Ableitung
Um die dritte Ableitung zu bekommen muss man hier die Produktregel verwenden.
[Hilfe zur Produktregel]
Wenn die dritte Ableitung am möglichen Wendepunkt ungleich Null ist, liegt ein Wendepunkt vor.
WP