LK Mathematik Abitur NRW 2007: Unterschied zwischen den Versionen

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'''''<span style="color: darkorange">Ermittle für a = 3, wie viel Liter Wasser in den ersten sechs Monaten durch den Fluss fließen.</span>
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''Bearbeitet wird eine Abituraufgabe von 2007 aus Nordrhein - Westfalen. Zu der Aufgabe sind auf der nächsten Seite einige Aufgaben gestellt, welche es zu bearbeiten gilt. Die interaktive Bearbeitung der Aufgabe ist so aufgebaut, dass zu Beginn nochmals erläutert wird was genau errechnet werden soll und wie die jeweilige Aufgabe zu berechnen ist.
  
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:Um Auszurechnen, wieviel Kubikliter Wasser durch den Fluss fließen, errechnet man '''die Fläche unter der Funktion'''. Einfache, bereits bekannte Flächenberechnungen gibt es bei linearen Funktionen. Um hier die Fläche auszurechnen, die der Graph mit der x - Achse einschließt, nimmt man einfach die gebräuchlichen Flächenformeln, wie die Rechtecksformel oder die Dreiecksformel.  
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Des Weiteren findest du neben den Aufgaben viele Veranschaulichungen durch Graphen in GeogebraApplets, von denen du manche auch durch einen Schieberegler verändern kannst. Dies ist vor allem für diejenigen nützlich, die sich die Lösungswege schwerer erschließen können und dadurch eine kleine Hilfestellung bekommen.  
  
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:Hier siehst du ein Beispiel dazu.
 
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:Hier lässt sich die Fläche unter dem Graphen leicht ausrechnen. Man summiert die <span style="color: red">Quadratfläche</span> und die <span style="color: green">Dreiecksfläche</span> und erhält somit die komplette Fläche unter dem Graphen.
 
  
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:<span style="color: red">Quadratfläche</span>:<math>4^2 = 16</math>
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:Nun wünsche ich dir noch viel Spaß beim Bearbeiten der interaktiven Aufgabe.
  
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:<span style="color: green">Dreieckfläche</span>:<math>\frac{1}{2} * 4 * 2 = 4</math>
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:Und hier gehts auch schon zur [[Facharbeit‎saufgabe|Wasserstandsaufgabe]]!
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:<math>\Rightarrow 16 + 4 = 20</math>
 
  
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:<u>Die markierte Fläche unter dem Graphen hat einen Flächeinhalt von 20.</u>
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Um die Wasserstände eines Flusses vorherzusagen, kann man versuchen, die Durchflussgeschwindigkeit
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des Wassers an einer bestimmten Stelle des Flusses mit Hilfe geeigneter
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Funktionen zu beschreiben.
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Solche näherungsweise Beschreibungen der Durchflussgeschwindigkeiten seien z. B. gegeben
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durch die Funktionenschar <math>f_a (t) = \frac{1}{4}t^3 - a t^2 + a^2 t</math>, mit a > 0 .
  
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Dabei gibt <math>f_a (t)</math> die Durchflussgeschwindigkeit in <math>10^6 \frac{m^3}{Monat}</math> (Millionen Kubikmeter pro
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Die Funktionen <math>f_a</math> berücksichtigen, dass es sich um einen Fluss handelt, der zeitweise
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austrocknet.
  
  
  
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:#[[LK Mathematik Abitur NRW 2007/Nullstellen|Berechnung der Zeitpunkte, in denen der Fluss austrocknet]]
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:#[[LK Mathematik Abitur NRW 2007/Extremwerte|Bestimmung der maximalen und minimalen Volumina]]
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:#[[LK Mathematik Abitur NRW 2007/Wendepunkt|Bestimmung der größten Senkung der Durchflussgeschwindigkeit]]
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:#[[LK Mathematik Abitur NRW 2007/Theoretische Überlegungen|Theoretische Fragen zur Wasserstandsaufgabe]]
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:#[[LK Mathematik Abitur NRW 2007/Integralberechnung|Berechnung des Wasservolumens in den ersten sechs Monaten]]
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:#[[LK Mathematik Abitur NRW 2007/Flächengleichheit|Volumengleicheit zweier verschiedener Funktionen bis zum Zeitpunkt t<sub>0</sub>]]
  
  
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:Bei Funktionen mit höcheren Potenzen benötigt man die Hilfe der '''Integralrechnung'''. Dazu wandelt man eine Funktion f (t) in F (t) um.
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:'''Es muss gelten: F' (t) = f (t)'''
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:Die allgemeine Integrationsregel: <math>\int_{a}^{b} x^n \,dx = \left[ \frac{x^(n+1)}{n+1} \right]_{a}^{b}</math>
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:a ist die untere Grenze, b die obere. Die Funktion wird im Intervall [ a; b ] integriert. 
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::<span style="color: darkblue">Gebe die Funktion F (t) an und errechne mit ihr für a = 3, wieviel Liter durch den Fluss geflossen sind.</span>
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::{{Lösung versteckt|1=
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::<math>\int_{x}^{y} f (t)\,dt  =  \frac{1}{16}t^4 - \frac{a*t^3}{3} +  \frac{a^2*t^2}{2} + c</math>
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::Die obere Grenze ist: 6 <small> ''Nach den ersten sechs Monaten''</smalL>
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::Die untere Grenze ist: 0
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::<math>\int_{0}^{6} f (t)\,dt  = </math> <math>\left[  \frac{1}{16}t^4 - \frac{3*t^3}{3} +  \frac{3^2*t^2}{2}\right ]_{0}^{6} = 27 - 0 = 27</math>
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::<u>Für a = 3 fließen in den ersten sechs Monaten 27*10<sup>9</sup> Liter Wasser durch den Fluss.</u> (<small> 27*10<sup>6</sup> m<sup>3</sup> = 27*10<sup>9</sup> Liter</small>)
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::<u><span style="color: red">Merke:</span></u> Die Funktion muss im Intervall stetig und differenzierbar sein ! Ist dies nicht erfüllt, ist eine Integration nicht möglich.
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Aktuelle Version vom 6. Februar 2011, 15:52 Uhr

Bearbeitet wird eine Abituraufgabe von 2007 aus Nordrhein - Westfalen. Zu der Aufgabe sind auf der nächsten Seite einige Aufgaben gestellt, welche es zu bearbeiten gilt. Die interaktive Bearbeitung der Aufgabe ist so aufgebaut, dass zu Beginn nochmals erläutert wird was genau errechnet werden soll und wie die jeweilige Aufgabe zu berechnen ist.

Des Weiteren findest du neben den Aufgaben viele Veranschaulichungen durch Graphen in GeogebraApplets, von denen du manche auch durch einen Schieberegler verändern kannst. Dies ist vor allem für diejenigen nützlich, die sich die Lösungswege schwerer erschließen können und dadurch eine kleine Hilfestellung bekommen.


Nun wünsche ich dir noch viel Spaß beim Bearbeiten der interaktiven Aufgabe.
Und hier gehts auch schon zur Wasserstandsaufgabe!

Aufgabenstellung:[1]


Eilif Peterssen- Sevilosen.jpg

Um die Wasserstände eines Flusses vorherzusagen, kann man versuchen, die Durchflussgeschwindigkeit des Wassers an einer bestimmten Stelle des Flusses mit Hilfe geeigneter Funktionen zu beschreiben. Solche näherungsweise Beschreibungen der Durchflussgeschwindigkeiten seien z. B. gegeben durch die Funktionenschar f_a (t) = \frac{1}{4}t^3 - a t^2 + a^2 t, mit a > 0 .

Dabei gibt f_a (t) die Durchflussgeschwindigkeit in 10^6 \frac{m^3}{Monat} (Millionen Kubikmeter pro Monat) und t die verstrichene Zeit in Monaten seit Beginn der Vorhersage t = 0 an. Die Funktionen f_a berücksichtigen, dass es sich um einen Fluss handelt, der zeitweise austrocknet.


  1. Berechnung der Zeitpunkte, in denen der Fluss austrocknet
  2. Bestimmung der maximalen und minimalen Volumina
  3. Bestimmung der größten Senkung der Durchflussgeschwindigkeit
  4. Theoretische Fragen zur Wasserstandsaufgabe
  5. Berechnung des Wasservolumens in den ersten sechs Monaten
  6. Volumengleicheit zweier verschiedener Funktionen bis zum Zeitpunkt t0




Internetquellen

  • ↑ Angabe als pdf Datei
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