Übungen zu Kehrsatz: Unterschied zwischen den Versionen

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*Satz des Pythagoras ansetzen
 
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*Der Satz des Pythagoras ist erfüllt
 
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*Das Dreieck ist also rechtwinklig
 
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*Satz des Pythagoras ansetzen
 
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*Der Satz des Pythagoras ist nicht erfüllt, da die Gleichung einen Widerspruch ergibt
 
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*Das Dreieck ist also nicht rechtwinklig
 
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*Satz des Pythagoras ansetzen
 
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*Der Satz des Pythagoras ist nicht erfüllt, da die Gleichung einen Widerspruch ergibt
 
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*Das Dreieck ist also nicht rechtwinklig
 
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*Satz des Pythagoras ansetzen
 
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*<math>{i^2=h^2+k^2\,}</math>
 
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*<math>{(3cm)^2=(2,4cm)^2+(1,8cm)^2\,}</math>
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*Der Satz des Pythagoras ist erfüllt
 
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*Das Dreieck ist also rechtwinklig
 
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*Da man nun alle Seiten kennt, kann man den Satz des Pythagoras für das Dreieck <math>\triangle{ABC}</math> ansetzen
 
*Da man nun alle Seiten kennt, kann man den Satz des Pythagoras für das Dreieck <math>\triangle{ABC}</math> ansetzen
 
*b ist die längste Seite, also müsste sie die Hypotenuse sein
 
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*<math>{b^2=a^2+c^2\,}</math>
 
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*Der Satz des Pythagoras ergibt einen Widerspruch
 
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*Das Dreieck <math>\triangle{ABC}</math> ist also nicht rechtwinklig
 
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*Da man nun alle Seiten kennt, kann man den Satz des Pythagoras für das Dreieck <math>\triangle{ABC}</math> ansetzen
 
*Da man nun alle Seiten kennt, kann man den Satz des Pythagoras für das Dreieck <math>\triangle{ABC}</math> ansetzen
 
*c ist die längste Seite, also müsste sie die Hypotenuse sein
 
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*<math>{(20cm)^2=(\sqrt{20}cm)^2+(\sqrt{380}cm)^2</math>
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*<math>{400cm^2=400cm^2\,}</math>
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*Der Satz des Pythagoras ergibt eine wahre Aussage
 
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*Das Dreieck <math>\triangle{ABC}</math> ist also rechtwinklig
 
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*Die Raumdiagonale d ist also etwa 15,81cm lang
 
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Aktuelle Version vom 24. Januar 2009, 18:41 Uhr

Arbeitsauftrag:

  • Hole dir das Übungsblatt zum Kehrsatz zum Satz des Pythagoras und zur Diagonalenberechnung
  • Berechne die Aufgaben auf dem Blatt
  • Vergleiche deine Lösungen mit denen auf der Seite

Aufgabe 1

a)

  • h ist die längste Seite, also müsste sie auch die Hypotenuse sein
  • Satz des Pythagoras ansetzen
  • {h^2=i^2+k^2\,}
  • \Leftrightarrow{(2,5cm)^2=(1,5cm)^2+(2cm)^2\,}
  • \Leftrightarrow{6,25cm^2=6,25cm^2\,}
  • Der Satz des Pythagoras ist erfüllt
  • Das Dreieck ist also rechtwinklig


b)

  • k ist die längste Seite, also müsste sie auch die Hypotenuse sein
  • Satz des Pythagoras ansetzen
  • {k^2=i^2+h^2\,}
  • \Leftrightarrow{(1,7cm)^2=(0,95cm)^2+(1,5cm)^2\,}
  • \Leftrightarrow{2,89cm^2=3,1525cm^2\,}
  • Der Satz des Pythagoras ist nicht erfüllt, da die Gleichung einen Widerspruch ergibt
  • Das Dreieck ist also nicht rechtwinklig


c)

  • i ist die längste Seite, also müsste sie auch die Hypotenuse sein
  • Satz des Pythagoras ansetzen
  • {i^2=h^2+k^2\,}
  • \Leftrightarrow{(4,3cm)^2=(2,6cm)^2+(1,8cm)^2\,}
  • \Leftrightarrow{18,49cm^2=10cm^2\,}
  • Der Satz des Pythagoras ist nicht erfüllt, da die Gleichung einen Widerspruch ergibt
  • Das Dreieck ist also nicht rechtwinklig


d)

  • i ist die längste Seite, also müsste sie auch die Hypotenuse sein
  • Satz des Pythagoras ansetzen
  • {i^2=h^2+k^2\,}
  • \Leftrightarrow{(3cm)^2=(2,4cm)^2+(1,8cm)^2\,}
  • \Leftrightarrow{9cm^2=9cm^2\,}
  • Der Satz des Pythagoras ist erfüllt
  • Das Dreieck ist also rechtwinklig


Aufgabe 2

a)

  • Um den Satz des Pythagoras zu testen, muss man zunächst die Länge der fehlenden Seiten berechnen
  • Das Dreieck lässt sich in zwei kleinere rechtwinklige Dreiecke zerlegen
  • In diesen rechtwinkligen Dreiecken darf man den Satz des Pythagoras ansetzen
  • {c^2=h_c^2+s^2\,}
  • c=\sqrt{h_c^2+s^2}
  • c=\sqrt{(8cm)^2+(4cm)^2}=\sqrt{80}cm \approx 8,94cm

  • {a^2=h_c^2+t^2\,}
  • {t^2=a^2-h_c^2\,}
  • t=\sqrt{a^2-h_c^2}
  • t=\sqrt{(8cm)^2-(\sqrt{320}cm)^2}=\sqrt{384}cm \approx 19,60cm

  • {b=s+t=4cm+19,60cm=23,60cm\,}

  • Da man nun alle Seiten kennt, kann man den Satz des Pythagoras für das Dreieck \triangle{ABC} ansetzen
  • b ist die längste Seite, also müsste sie die Hypotenuse sein
  • {b^2=a^2+c^2\,}
  • \Leftrightarrow{(23,60cm)^2=(\sqrt{320}cm)^2+(8,94cm)^2\,}
  • \Leftrightarrow{556,96cm^2=399,9236cm^2\,}
  • Der Satz des Pythagoras ergibt einen Widerspruch
  • Das Dreieck \triangle{ABC} ist also nicht rechtwinklig


b)

  • Um den Satz des Pythagoras zu testen, muss man zunächst die Länge der fehlenden Seiten berechnen
  • Das Dreieck lässt sich in zwei kleinere rechtwinklige Dreiecke zerlegen
  • In diesen rechtwinkligen Dreiecken darf man den Satz des Pythagoras ansetzen
  • {a^2=h_c^2+t^2\,}
  • a=\sqrt{h_c^2+t^2}
  • a=\sqrt{(\sqrt{19}cm)^2+(1cm)^2}=\sqrt{20}cm \approx 4,47cm

  • {b^2=h_c^2+s^2\,}
  • {s^2=b^2-h_c^2\,}
  • s=\sqrt{b^2-h_c^2}
  • t=\sqrt{(\sqrt{380}cm)^2-(\sqrt{19}cm)^2}=\sqrt{361}cm=19cm

  • {c=s+t=19cm+1cm=20cm\,}

  • Da man nun alle Seiten kennt, kann man den Satz des Pythagoras für das Dreieck \triangle{ABC} ansetzen
  • c ist die längste Seite, also müsste sie die Hypotenuse sein
  • {c^2=a^2+b^2\,}
  • \Leftrightarrow(20cm)^2=(\sqrt{20}cm)^2+(\sqrt{380}cm)^2
  • \Leftrightarrow{400cm^2=400cm^2\,}
  • Der Satz des Pythagoras ergibt eine wahre Aussage
  • Das Dreieck \triangle{ABC} ist also rechtwinklig


Aufgabe 3

  • Um die Diagonale zu berechnen betrachtet man das rechtwinklige Dreieck \triangle{BDH}
  • Die Strecke {[BD]\,} ist noch unbekannt und man muss sie berechnen
  • Hierfür betrachtet man das rechtwinklige Dreieck \triangle{ABD}
  • Man setzt den Satz des Pythagoras an
  • (\overline{BD})^2=(\overline{AB})^2+(\overline{AD})^2
  • (\overline{BD})^2=a^2+b^2
  • \overline{BD}=\sqrt{a^2+b^2}
  • \overline{BD}=\sqrt{(5cm)^2+(9cm)^2}=\sqrt{106}cm \approx 10,30cm

  • Damit kann man den Satz des Pythagoras im rechtwinkligen Dreieck \triangle{BDH} anwenden
  • d^2=(\overline{BD})^2+(\overline{DH})^2
  • d^2=(\overline{BD})^2+h^2
  • d=\sqrt{(\overline{BD})^2+h^2}
  • d=\sqrt{(10,3cm)^2+(12cm)^2}=\sqrt{250,09}cm \approx 15,81cm
  • Die Raumdiagonale d ist also etwa 15,81cm lang


Wenn du fertig gerechnet hast geht es hier zum Ende des Lernpfads.

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