2010 VI: Unterschied zwischen den Versionen
(Die Seite wurde neu angelegt: __NOTOC__ <div style="padding:1px;background: #EEEEE6;border:0px groove;"> <center><table border="0" width="800px" cellpadding=5 cellspacing=15> <tr><td width="800px...) |
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+ | In einem kartesischen Koordinatensystem desIR<sup>3</sup> sind die Punkte A(0|0|2), C(1|4|1) und D(-1|2|0) und die Gerade | ||
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+ | g : <math>\vec x = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + \lambda \cdot\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}</math>, λ ∈ IR, gegeben | ||
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+ | 1 a) Zeigen Sie, dass die drei Punkte A, C und D eine Ebene E festlegen, und bestimmen Sie eine Gleichung von E in Normalenform. [mögliches Ergebnis: F: 2x<sub>1</sub>-x<sub>2</sub>-2<sub>3</sub>+4=0] | ||
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+ | :{{Lösung versteckt| | ||
+ | [[Bild:Abi 2010 VI 1a.jpg]] | ||
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+ | 1 b) Die Gerade g schneidet die Ebene E in einem Punkt B. Berechnen Sie die Koordinaten von B und zeigen Sie, dass der Punkt B das Dreieck ACD zu einem Quadrat ABCD ergänzt. [Teilergebnis: B(2|2|3)] | ||
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+ | :{{Lösung versteckt| | ||
+ | [[Bild:Abi 2010 VI 1b.jpg]] | ||
+ | }} | ||
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+ | 2) Zusätzlich ist die Geradenschar h<sub>t</sub> : <math>\vec x = \begin{pmatrix} 2t \\ t \\ 2 \end{pmatrix} + \lambda \cdot\begin{pmatrix} t-1 \\ t+1 \\ 2t \end{pmatrix}</math>, λ.t ∈ IR gegeben. | ||
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+ | 2 a) Zeigen Sie, dass die Gerade g in der Schar der Geraden h<sub>t</sub> enthalten ist. | ||
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+ | :{{Lösung versteckt| | ||
+ | [[Bild:Abitur 2010 VI 2a.jpg]] | ||
+ | }} | ||
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+ | 2 b) Eine der Schargeraden h<sub>t</sub> ist parallel zur Ebene E. Bestimmen Sie den zugehörigen Scharparameter t und den Abstand dieser Geraden von E. | ||
+ | :{{Lösung versteckt| | ||
+ | [[Bild:Abi 2010 VI 2b.jpg]]}} | ||
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+ | 3 a) Bestimmen Sie die Koordinaten des von B verschiedenen Punktes P ∈ g so, dass die Geraden PA und PC senkrecht zueinander stehen. | ||
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+ | :{{Lösung versteckt| | ||
+ | [[Bild:Abi 2010 VI 3a1.jpg]] | ||
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+ | [[Bild:Abi 2010 VI 3a2.jpg]] | ||
+ | }} | ||
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+ | 3 b) Begründen Sie, dass es eine Kugel K mit Mittelpunkt M ∈ E gibt, auf der die Punkte A, B, C, D und P liegen. Ermitteln Sie die Koordinaten von M und den Radius r von K. | ||
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+ | [zur Kontrolle: M(0,5 | 2 |1,5); r= <math> \frac{3}{2} \sqrt{2} </math> | ||
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+ | :{{Lösung versteckt| | ||
+ | [[Bild:Abi 2010 VI 3b1 .jpg]] | ||
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+ | [[Bild:Abi 2010 VI 3b2.jpg]] | ||
+ | }} | ||
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+ | 3 c) Prüfen Sie, ob der Ursprung O des Koordinatensystems innerhalb oder außerhalb der Kugel K liegt, und geben Sie die Radien der Kugeln um den Ursprung an, die die Kugel K berühren. | ||
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+ | :{{Lösung versteckt| | ||
+ | [[Bild:Abi 2010 VI 3c.jpg]] | ||
+ | }} | ||
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+ | 4) Für einen Punkt Q ∈ g wird der Flächeninhalt des Dreiecks AQC minimal. Bestimmen Sie diesen minimalen Flächeninhalt. | ||
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+ | :{{Lösung versteckt| | ||
+ | [[Bild:Abi 2010 VI 41.jpg]] | ||
+ | [[Bild:Abi 2010 VI 42.jpg]] | ||
+ | }} | ||
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Aktuelle Version vom 12. Februar 2011, 23:11 Uhr
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In einem kartesischen Koordinatensystem desIR3 sind die Punkte A(0|0|2), C(1|4|1) und D(-1|2|0) und die Gerade g : , λ ∈ IR, gegeben
2 a) Zeigen Sie, dass die Gerade g in der Schar der Geraden ht enthalten ist.
[zur Kontrolle: M(0,5 | 2 |1,5); r=
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