2010 VI

Leistungskurs Mathematik (Bayern): Abiturprüfung 2010 Analytische Geometrie VI Download der Originalaufgaben: Abitur 2010 LK Mathematik Bayern Lösung von Carina Vondran

In einem kartesischen Koordinatensystem desIR3 sind die Punkte A(0|0|2), C(1|4|1) und D(-1|2|0) und die Gerade g : $\vec x = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + \lambda \cdot\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$, λ ∈ IR, gegeben 1 a) Zeigen Sie, dass die drei Punkte A, C und D eine Ebene E festlegen, und bestimmen Sie eine Gleichung von E in Normalenform. [mögliches Ergebnis: F: 2x1-x2-23+4=0] [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] 1 b) Die Gerade g schneidet die Ebene E in einem Punkt B. Berechnen Sie die Koordinaten von B und zeigen Sie, dass der Punkt B das Dreieck ACD zu einem Quadrat ABCD ergänzt. [Teilergebnis: B(2|2|3)] [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] 2) Zusätzlich ist die Geradenschar ht : $\vec x = \begin{pmatrix} 2t \\ t \\ 2 \end{pmatrix} + \lambda \cdot\begin{pmatrix} t-1 \\ t+1 \\ 2t \end{pmatrix}$, λ.t ∈ IR gegeben. 2 a) Zeigen Sie, dass die Gerade g in der Schar der Geraden ht enthalten ist. [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] 2 b) Eine der Schargeraden ht ist parallel zur Ebene E. Bestimmen Sie den zugehörigen Scharparameter t und den Abstand dieser Geraden von E. [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] 3 a) Bestimmen Sie die Koordinaten des von B verschiedenen Punktes P ∈ g so, dass die Geraden PA und PC senkrecht zueinander stehen. [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] 3 b) Begründen Sie, dass es eine Kugel K mit Mittelpunkt M ∈ E gibt, auf der die Punkte A, B, C, D und P liegen. Ermitteln Sie die Koordinaten von M und den Radius r von K. [zur Kontrolle: M(0,5 | 2 |1,5); r= $\frac{3}{2} \sqrt{2}$ [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] 3 c) Prüfen Sie, ob der Ursprung O des Koordinatensystems innerhalb oder außerhalb der Kugel K liegt, und geben Sie die Radien der Kugeln um den Ursprung an, die die Kugel K berühren. [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] 4) Für einen Punkt Q ∈ g wird der Flächeninhalt des Dreiecks AQC minimal. Bestimmen Sie diesen minimalen Flächeninhalt. [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]