2006 IV: Unterschied zwischen den Versionen

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Zeigen Sie, dass der Erwartungswert der Zufallsgröße „Augenzahl beim einmaligen Werfen eines Vegas-Würfels“ 4 ist.  
  
 
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Auf dem Tisch liegen ungeordnet drei Laplace-Würfel und ein Vegas-Würfel. Ein Spieler nimmt davon zufällig drei Würfel und wirft sie gleichzeitig.
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Mit welcher Wahrscheinlichkeit erzielt er drei gleiche Augenzahlen, wenn er drei Laplace-Würfel genommen hat? Mit welcher Wahrschein-lichkeit erzielt er drei gleiche Augenzahlen, wenn er zwei Laplace-Würfel und den Vegas-Würfel genommen hat?
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Welche Folgerung können Sie aus Ihren Ergebnissen bezüglich der stochastischen Abhängigkeit der Ereignisse „Er erzielt drei gleiche Augenzahlen“ und „Er nimmt drei Laplace-Würfel“ ziehen?
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Bestimmen Sie hierzu die Entscheidungsregel anhand der Anzahl der geworfenen Sechser so, dass möglichst auch ein Laplace-Würfel richtig eingestuft wird.
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Eine Packung des Spiels enthält – ungeordnet und äußerlich nicht unter-scheidbar – 7 Laplace- und 3 Vegas-Würfel.
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Aus dieser Packung wird ein Würfel entnommen und 100-mal geworfen. Mit welcher Wahrschein¬lichkeit handelt es sich um einen Vegas-Würfel, wenn dabei 25-mal eine „6“ geworfen wird?
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Die 10 Würfel werden nun einzeln nacheinander aus der Packung ent-nommen und je 100-mal geworfen.
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Die Zufallsgröße X ist näherungsweise normalverteilt. Berechnen Sie mit Hilfe der Normalverteilung, mit welcher Wahrscheinlichkeit bei den 1000 Würfen mehr als 225-mal eine „6“ geworfen wird.
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Bei einem Spiel werden jeweils 5 Würfel geworfen. Aus den Augen-zahlen – aufgefasst als Ziffern – werden möglichst große fünfstellige natürliche Zahlen gebildet, z. B. 43321, nicht jedoch 34312.
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Mit welcher Wahrscheinlichkeit erhält man eine Zahl größer als 50000, wenn es sich um 5 Laplace-Würfel handelt?
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Wie viele verschiedene natürliche Zahlen können nach dieser Spiel-regel gebildet werden? Wählen Sie aus den folgenden kombina-torischen „Modellen“ zunächst das für dieses Problem passende aus und bestimmen Sie dann mit dessen Hilfe die gesuchte Anzahl.
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A) Anzahl der fünfstelligen Zahlen aus den Ziffern 1 bis 6 dividiert durch die Zahl der Permutationen von 5 Elementen
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B) Zahl der möglichen Verteilungen von 5 Kugeln auf 6 Urnen, wobei es nur auf die jeweilige Anzahl der Kugeln in den Urnen ankommt
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C) Zahl der möglichen Verteilungen von 6 Kugeln auf 5 Urnen, wobei es nur auf die jeweilige Anzahl der Kugeln in den Urnen ankommt
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Aktuelle Version vom 11. April 2010, 15:51 Uhr


Leistungskurs Mathematik (Bayern): Abiturprüfung 2006
Stochastik IV


Download der Originalaufgaben: Abitur 2006 LK Mathematik Bayern - Lösung gesamt


Erarbeitet von Christian Burkard und Julius Schmidt



Die Firma VEGAS hat ein neues Gesellschaftsspiel entwickelt, bei dem neben Laplace-Würfeln auch spezielle Vegas-Würfel verwendet werden, die sich äußerlich von den Laplace-Würfeln nicht unterscheiden. Die Vegas- Würfel zeigen die Augenzahl „6“ mit der erhöhten Wahrscheinlichkeit \frac{1}{3} , während die anderen Augenzahlen untereinander gleich wahrscheinlich sind.

Aufgabe 1

Zeigen Sie, dass der Erwartungswert der Zufallsgröße „Augenzahl beim einmaligen Werfen eines Vegas-Würfels“ 4 ist.

1.jpg


Aufgabe 2

Auf dem Tisch liegen ungeordnet drei Laplace-Würfel und ein Vegas-Würfel. Ein Spieler nimmt davon zufällig drei Würfel und wirft sie gleichzeitig. Mit welcher Wahrscheinlichkeit erzielt er drei gleiche Augenzahlen, wenn er drei Laplace-Würfel genommen hat? Mit welcher Wahrschein-lichkeit erzielt er drei gleiche Augenzahlen, wenn er zwei Laplace-Würfel und den Vegas-Würfel genommen hat? Welche Folgerung können Sie aus Ihren Ergebnissen bezüglich der stochastischen Abhängigkeit der Ereignisse „Er erzielt drei gleiche Augenzahlen“ und „Er nimmt drei Laplace-Würfel“ ziehen?

2.jpg



Aufgabe 3

Um bei einem Würfel festzustellen, ob es sich um einen Laplace- oder Vegas-Würfel handelt, wird er 100 mal geworfen. Ein Vegas-Würfel soll mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 99 % als solcher eingestuft werden.

a)

Bestimmen Sie hierzu die Entscheidungsregel anhand der Anzahl der geworfenen Sechser so, dass möglichst auch ein Laplace-Würfel richtig eingestuft wird. [Ergebnis: Entscheidung für Vegas-Würfel ab 23 geworfenen Sechsern]

Jsucb 3a.jpg

b)

Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird bei dieser Entscheidungsregel ein Laplace-Würfel falsch eingestuft?

Jsucb 3b.jpg



Eine Packung des Spiels enthält – ungeordnet und äußerlich nicht unter-scheidbar – 7 Laplace- und 3 Vegas-Würfel.

Aufgabe 4

Aus dieser Packung wird ein Würfel entnommen und 100-mal geworfen. Mit welcher Wahrschein¬lichkeit handelt es sich um einen Vegas-Würfel, wenn dabei 25-mal eine „6“ geworfen wird?

Burkard Christian 483px-4.jpg



Aufgabe 5

Die 10 Würfel werden nun einzeln nacheinander aus der Packung ent-nommen und je 100-mal geworfen.

a)

Die Zufallsgröße X bezeichne die Anzahl der geworfenen Sechser unter den insgesamt 1000 durchzuführenden Würfen. Berechnen Sie Erwartungs¬wert und Varianz von X. [Ergebnis: E(X)=216\frac{2}{3}, Var(X) = 163\frac{8}{9} ]

5a.jpg

b)

Die Zufallsgröße X ist näherungsweise normalverteilt. Berechnen Sie mit Hilfe der Normalverteilung, mit welcher Wahrscheinlichkeit bei den 1000 Würfen mehr als 225-mal eine „6“ geworfen wird.

5b.jpg



Aufgabe 6

Bei einem Spiel werden jeweils 5 Würfel geworfen. Aus den Augen-zahlen – aufgefasst als Ziffern – werden möglichst große fünfstellige natürliche Zahlen gebildet, z. B. 43321, nicht jedoch 34312.

a)

Mit welcher Wahrscheinlichkeit erhält man eine Zahl größer als 50000, wenn es sich um 5 Laplace-Würfel handelt?

6a.jpg

b)

Wie viele verschiedene natürliche Zahlen können nach dieser Spiel-regel gebildet werden? Wählen Sie aus den folgenden kombina-torischen „Modellen“ zunächst das für dieses Problem passende aus und bestimmen Sie dann mit dessen Hilfe die gesuchte Anzahl.

A) Anzahl der fünfstelligen Zahlen aus den Ziffern 1 bis 6 dividiert durch die Zahl der Permutationen von 5 Elementen

B) Zahl der möglichen Verteilungen von 5 Kugeln auf 6 Urnen, wobei es nur auf die jeweilige Anzahl der Kugeln in den Urnen ankommt

C) Zahl der möglichen Verteilungen von 6 Kugeln auf 5 Urnen, wobei es nur auf die jeweilige Anzahl der Kugeln in den Urnen ankommt

6b.jpg


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