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(→‎Berechnen Sie, wann die Wachstumsgeschwindigkeit einer Sonnenblumenpflanze am größten ist)
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:<math>f_{0,04} (t) = \frac {2\cdot e^{0,04t}} {e^{0,04t} + 29}\;\;\;\;\;\;0\leq t\leq 200</math>
  
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Dies gilt für den Wendepunkt, der bereits in [[Facharbeit Mathematik Straßheimer/Die Aufgabe/Lösung b)| Teilaufgabe b)]] berechnet und liegt bei <math>t = \frac {ln29} {0,04} = 84,2</math>
  
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===<u>Erläutern Sie die Grenzen dieser mathematischen Modellbildung</u>===
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==Erläutern Sie die Grenzen dieser mathematischen Modellbildung==

Version vom 26. Januar 2010, 22:08 Uhr

Durch die Funktion f_{0,04}\; für 0\leq t\leq 200 (t in Tagen) kann das Wachstum von Sonnenblumen beschrieben werden, wobei f_{0,04} (t)\; die Höhe (in m) der Pflanzen zur Zeit t bedeutet.

f_{0,04} (t) = \frac {2\cdot e^{0,04t}} {e^{0,04t} + 29}\;\;\;\;\;\;0\leq t\leq 200

Berechnen Sie die Höhe einer Sonnenblumenpflanze nach 10, 50 und 150 Tagen


Graph-facharbeit7.png

Da der Graph der Funktion das Wachstum einer Sonnenblumenpflanze in m beschreibt, wobei die Variable t die Zeit darstellt, muss man lediglich t in die Gleichung einsetzen und erfährt die Höhe in m nach der verstrichenen Zeit t.

Höhe nach 10 Tagen:

f_{0,04} (10) = \frac {2\cdot e^{0,04\cdot 10}} {e^{0,04\cdot 10} + 29} m = \frac {2\cdot e^{0,4}} {e^{0,4} + 29} m = 0,098m = 9,8cm

Höhe nach 50 Tagen:

f_{0,04} (50) = \frac {2\cdot e^{0,04\cdot 50}} {e^{0,04\cdot 50} + 29} m = \frac {2\cdot e^{2}} {e^{2} + 29} m = 0,406m = 40,6cm

Höhe nach 150 Tagen:

f_{0,04} (150) = \frac {2\cdot e^{0,04\cdot 150}} {e^{0,04\cdot 150} + 29} m = \frac {2\cdot e^{6}} {e^{6} + 29} m = 1,866m = 186,6cm


Berechnen Sie, wann die Wachstumsgeschwindigkeit einer Sonnenblumenpflanze am größten ist


Graph-facharbeit9.png
  • Die Funktion f_{0,04} (t)\; beschreibt die Höhe der Sonnenblumenpflanze in Abhängigkeit der Zeit t (hier rot zu erkennen)
  • Die 1. Ableitung der Funktion f'_{0,04} (t)\; beschreibt die Wachstumsgeschwindigkeit in Abhängigkeit der Zeit t (hier blau zu erkennen)


Wenn die Steigung der 1. Ableitung gleich 0 ist und an dieser Stelle ein Maximum ist, ist die Wachstumsgeschwindigkeit am größten.


Daraus folgt die Bedingung: f''_{0,04} (t) = 0\;


Graph-facharbeit8.png


Dies gilt für den Wendepunkt, der bereits in Teilaufgabe b) berechnet und liegt bei t = \frac {ln29} {0,04} = 84,2

Erläutern Sie die Grenzen dieser mathematischen Modellbildung

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