Lösung: Wendepunkte: Unterschied zwischen den Versionen

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Um mögliche Wendepunkte zu bestimmen benötigt man die zweite Ableitung.
 
Um mögliche Wendepunkte zu bestimmen benötigt man die zweite Ableitung.
  
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Die zweite Ableitung einer Funktion beschreibt das Krümmungsverhalten dieser. Dieses ändert sich für  <math>f_a^{''} (x) = 0\;</math> und deshald könnte ein möglicher Wendepunkt auftreten.
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Die zweite Ableitung einer Funktion beschreibt das Krümmungsverhalten dieser. Dieses ändert sich für  <math>f_a^{''} (x) = 0\;</math> und deshalb könnte ein möglicher Wendepunkt auftreten.
  
  
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Möglicher Wendepunkt bei <math>x = a + 2 \; </math>
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Einsetzen des möglichen Wendepunkts in die Funktion.
  
  
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Wenn es einen Vorzeichenwechsel (VZW) des Krümmungsverhaltens der Funktion am möglichen Wendepunkt gibt, kann man von einem Wendepunkt sprechen.  
 
Wenn es einen Vorzeichenwechsel (VZW) des Krümmungsverhaltens der Funktion am möglichen Wendepunkt gibt, kann man von einem Wendepunkt sprechen.  
  
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: <math>\lim_{h\to 0}f_a^{''} ( a + 2  - h ) = \lim_{h\to 0}e^{a + 2 - (a + 2 - h )}\cdot ( a + 2 - h - a - 2 )</math><br />
 
: <math>\lim_{h\to 0}f_a^{''} ( a + 2  - h ) = \lim_{h\to 0}e^{a + 2 - (a + 2 - h )}\cdot ( a + 2 - h - a - 2 )</math><br />
 
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: <math>\lim_{h\to 0}f_a^{''} ( a + 2 -  h )<0</math>
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<math>\lim_{h\to 0}f_a^{''} ( a + 2 -  h )<0</math>
  
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:::<math>\rightarrow</math>  An der Stelle  <math>\lim_{h\to 0}f_a^{''}( a +2+ h )\;</math> ist der Graph linksgekrümmt.(I)
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<math>\rightarrow</math>  An der Stelle  <math>\lim_{h\to 0}f_a^{''}( a +2+ h )\;</math> ist der Graph linksgekrümmt.(I)
  
  
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'''II.'''<br />
 
: <math>\lim_{h\to 0}f_a^{''} ( a + 2 +  h ) =\lim_{h\to 0} e^{a + 2 - (a + 2 + h )}\cdot ( a + 2 + h - a - 2 )</math><br />
 
: <math>\lim_{h\to 0}f_a^{''} ( a + 2 +  h ) =\lim_{h\to 0} e^{a + 2 - (a + 2 + h )}\cdot ( a + 2 + h - a - 2 )</math><br />
 
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<math>\rightarrow</math>  WP <math>( a + 2 / 2 )\;</math>
 
<math>\rightarrow</math>  WP <math>( a + 2 / 2 )\;</math>

Aktuelle Version vom 26. Januar 2010, 19:43 Uhr

y = f_a (x) = ( x - a )\cdot e^{a+2-x} mit x\in R ; a\in R

Inhaltsverzeichnis

Wendepunkte

Zweite Ableitung: siehe Überprüfung des Extrempunkts; 2. Möglichkeit

f_a^{''} (x) = e^{a+2-x}\cdot ( x - a - 2 )

Um mögliche Wendepunkte zu bestimmen benötigt man die zweite Ableitung.

Die zweite Ableitung einer Funktion beschreibt das Krümmungsverhalten dieser. Dieses ändert sich für f_a^{''} (x) = 0\; und deshalb könnte ein möglicher Wendepunkt auftreten.


f_a^{''} (x) = 0\;
e^{a+2-x}\cdot ( x - a - 2 ) = 0 \;\;\;\;\;\; | \; e^{a+2-x} > 0
\rightarrow \; ( x - a - 2 ) = 0 \;\;\;\;\;\;\;\; | \; + 2 ; + a
x = a + 2\;


Möglicher Wendepunkt bei x = a + 2 \;
Einsetzen des möglichen Wendepunkts in die Funktion.


f_a ( a + 2 ) = ( a + 2 - a )\cdot e^{a+2-(a + 2 )}
= 2\cdot e^{a+2-a - 2 )}
= 2\cdot e^0
= 2\;


\rightarrow mög. WP \; ( a + 2 / 2 )


Überprüfung des Wendepunkts

1. Möglichkeit; H-Methode

Wenn es einen Vorzeichenwechsel (VZW) des Krümmungsverhaltens der Funktion am möglichen Wendepunkt gibt, kann man von einem Wendepunkt sprechen.


I.

\lim_{h\to 0}f_a^{''} ( a + 2 - h ) = \lim_{h\to 0}e^{a + 2 - (a + 2 - h )}\cdot ( a + 2 - h - a - 2 )
=\lim_{h\to 0} e^{a + 2 - a- 2 + h }\cdot (- h)
= \lim_{h\to 0}e^{h }\cdot ( -h )
= \lim_{h\to 0}-h\cdot e^{h }

\lim_{h\to 0}f_a^{''} ( a + 2 - h )<0

\rightarrow An der Stelle \lim_{h\to 0}f_a^{''}( a +2+ h )\; ist der Graph linksgekrümmt.(I)


II.

\lim_{h\to 0}f_a^{''} ( a + 2 + h ) =\lim_{h\to 0} e^{a + 2 - (a + 2 + h )}\cdot ( a + 2 + h - a - 2 )
=\lim_{h\to 0} e^{a + 2 - a- 2 - h }\cdot (+ h)
= \lim_{h\to 0}e^{-h }\cdot ( +h )
= \lim_{h\to 0}+h\cdot e^{-h }

\lim_{h\to 0}f_a^{''} ( a + 2 + h )>0

\rightarrow An der Stelle \lim_{h\to 0}f_a^{'}(a+2-h )\; ist der Graph rechtsgekrümmt.(II)


Aus (I) und (II) folgt:
VZW bei x = a + 2\;
\Rightarrow Wendepunkt bei \;( a + 2 / 2 )\;


zur Verdeutlichung:

Krümmungsverhalten
x<2+a x=2+a x>2+a
ea + 2 - x + +
( x - a - 2 ) - +
fa ( x ) - +

\rightarrow WP ( a + 2 / 2 )\;

2. Möglichkeit; 3.Ableitung

Verwendung der dritten Ableitung

f_a (x) = e^{a+2-x}\cdot ( x - a)

f_a^{'} (x) = e^{a+2-x}\cdot ( 1+a-x )

f_a^{''} (x) = e^{a+2-x}\cdot ( x - a - 2 )


Um die dritte Ableitung zu bekommen muss man hier die Produktregel verwenden. [Hilfe zur Produktregel]

f_a^{'''} (x) = e^{a+2-x}\cdot ( x - a - 2 )\cdot (-1) + 1\cdot e^{a+2-x}
= e^{a+2-x}\cdot ( a + 2 - x + 1 )
= ( a + 3 - x )\cdot e^{a+2-x}

Wenn die dritte Ableitung am möglichen Wendepunkt ungleich Null ist, liegt ein Wendepunkt vor.

f_a^{'''} ( a + 2 ) = ( a + 3 - ( a + 2 ))\cdot e^{a + 2 - ( a + 2 )}
= ( a + 3 - a - 2 ) \cdot e^{a + 2 - a - 2 }
= 1\cdot e^{0}
= 1\;
> 0\;


\rightarrow WP ( a + 2 / 2 )\;

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