Lösung: Wendepunkte: Unterschied zwischen den Versionen

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== Wendepunkte ==
 
== Wendepunkte ==
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Um mögl. Wendepunkte zu bestimmen benötigt man die zweite Ableitung.
 
  
 
Zweite Ableitung: siehe Überprüfung des Extrempunkts; 2. Möglichkeit
 
Zweite Ableitung: siehe Überprüfung des Extrempunkts; 2. Möglichkeit
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<math>f_a^{''} (x) = e^{a+2-x}\cdot ( x - a - 2 )</math>
 
<math>f_a^{''} (x) = e^{a+2-x}\cdot ( x - a - 2 )</math>
  
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Um mögliche Wendepunkte zu bestimmen benötigt man die zweite Ableitung.
  
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Mögl. Wendepunkte tretten für <math>f_a^{''} (x) = 0\;</math> auf.
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Die zweite Ableitung einer Funktion beschreibt das Krümmungsverhalten dieser. Dieses ändert sich für <math>f_a^{''} (x) = 0\;</math> und deshalb könnte ein möglicher Wendepunkt auftreten.
  
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<math>f_a^{''} (x) = 0\;</math><br />
 
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<math>e^{a+2-x}\cdot ( x - a - 2 ) = 0    \;\;\;\;\;\; | \; e^{a+2-x} > 0</math><br />
 
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    <math> \rightarrow \; ( x - a - 2 ) = 0 \;\;\;\;\;\; | \;  + 2 ; + a</math><br />
 
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                <math>x = a + 2\;</math><br />
 
  
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Möglicher Wendepunkt bei <math>x = a + 2 \; </math>
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:::::: <math>f_a^{''} (x) = 0\;</math><br />
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: <math>e^{a+2-x}\cdot ( x - a - 2 ) = 0    \;\;\;\;\;\; | \; e^{a+2-x} > 0</math><br />
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::    <math> \rightarrow \; ( x - a - 2 ) = 0 \;\;\;\;\;\;\;\; | \;  + 2 ; + a</math><br />
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::::::                <math>x = a + 2\;</math><br />
  
  
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<math>f_a ( a + 2 ) = ( a + 2 - a )\cdot e^{a+2-(a + 2 )}</math><br />
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Möglicher Wendepunkt bei <math>x = a + 2 \; </math><br />
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                      <math> = 2\cdot e^{a+2-a - 2 )}</math><br />
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Einsetzen des möglichen Wendepunkts in die Funktion.
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                      <math> = 2\cdot e^0</math><br />
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                      <math> = 2\;</math><br />
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: <math>f_a ( a + 2 ) = ( a + 2 - a )\cdot e^{a+2-(a + 2 )}</math><br />
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::::                      <math> = 2\cdot e^{a+2-a - 2 )}</math><br />
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::::                      <math> = 2\cdot e^0</math><br />
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::::                      <math> = 2\;</math><br />
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<math> \rightarrow </math>    mög. WP <math>\; ( a + 2 / 2 )</math>
 
<math> \rightarrow </math>    mög. WP <math>\; ( a + 2 / 2 )</math>
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==== 1. Möglichkeit ====
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==== 1. Möglichkeit; H-Methode ====
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H-Methode , VZW des Krümmungsverhaltens
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f<sub>a</sub><sup>''</sup> ( a + 2 + - h ) = e<sup>a + 2 - (a + 2 - h )</sup> ( a + 2 - h - a - 2 )
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Wenn es einen Vorzeichenwechsel (VZW) des Krümmungsverhaltens der Funktion am möglichen Wendepunkt gibt, kann man von einem Wendepunkt sprechen.  
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                                          = e<sup>a + 2 - a - 2 + h )</sup>  ( -h )
+
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                                          = e^h ( -h )
+
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                                          = -h e^h
+
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                                          lim h --> 0 ............
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f<sub>a</sub><sup>''</sup> ( a + 2 + + h ) = e<sup>a + 2 - (a + 2 + h )</sup> ( a + 2 + h - a - 2 )
 
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                                          = e<sup>a + 2 - a - 2 - h )</sup>  ( h )
 
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                                          = e^h ( h )
 
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                                          = h e^h
 
  
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                                          lim h --> 0 ............
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'''I.<br />'''
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: <math>\lim_{h\to 0}f_a^{''} ( a + 2  - h ) = \lim_{h\to 0}e^{a + 2 - (a + 2 - h )}\cdot ( a + 2 - h - a - 2 )</math><br />
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:::::::                                          <math>=\lim_{h\to 0} e^{a + 2 - a- 2 + h }\cdot (- h)</math><br />
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:::::::                                          <math>= \lim_{h\to 0}e^{h }\cdot ( -h )</math><br />
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:::::::                                          <math>= \lim_{h\to 0}-h\cdot e^{h }</math><br />
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<math>\lim_{h\to 0}f_a^{''} ( a + 2 -  h )<0</math>
  
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<math>\rightarrow</math>  An der Stelle  <math>\lim_{h\to 0}f_a^{''}( a +2+ h )\;</math> ist der Graph linksgekrümmt.(I)
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'''II.'''<br />
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: <math>\lim_{h\to 0}f_a^{''} ( a + 2 +  h ) =\lim_{h\to 0} e^{a + 2 - (a + 2 + h )}\cdot ( a + 2 + h - a - 2 )</math><br />
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:::::::                                          <math>=\lim_{h\to 0} e^{a + 2 - a- 2 - h }\cdot (+ h)</math><br />
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:::::::                                          <math>= \lim_{h\to 0}e^{-h }\cdot ( +h )</math><br />
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:::::::                                          <math>= \lim_{h\to 0}+h\cdot e^{-h }</math><br />
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<math>\lim_{h\to 0}f_a^{''} ( a + 2 +  h )>0</math>
 
   
 
   
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--> VZW bei x = a + 2<br />
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<math>\rightarrow</math>  An der Stelle  <math>\lim_{h\to 0}f_a^{'}(a+2-h )\;</math> ist der Graph rechtsgekrümmt.(II)
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--> Wendepunkt bei ( a + 2 / 2 )
+
 
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Aus (I) und (II) folgt:<br />
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VZW bei <math>x = a + 2\;</math><br />
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<math>\Rightarrow</math>  Wendepunkt bei <math>\;( a + 2 / 2 )\;</math>
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<u>zur Verdeutlichung</u>
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<u>zur Verdeutlichung:</u>
  
 
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--> WP ( a + 2 / 2 )
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<math>\rightarrow</math>  WP <math>( a + 2 / 2 )\;</math>
  
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==== 2. Möglichkeit; 3.Ableitung ====
  
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2. Möglichkeit
 
 
Verwendung der dritten Ableitung
 
Verwendung der dritten Ableitung
  
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f<sub>a</sub> (x) = ( x - a ) e<sup>a + 2 - x</sup>
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<math>f_a (x) = e^{a+2-x}\cdot ( x - a)</math><br />
  
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f<sub>a</sub><sup>'</sup> (x) = e<sup>a + 2 - x </sup> ( 1 + a - x )
+
<math>f_a^{'} (x) = e^{a+2-x}\cdot ( 1+a-x )</math><br />
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<math>f_a^{''} (x) = e^{a+2-x}\cdot ( x - a - 2 )</math><br />
  
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f<sub>a</sub><sup>''</sup> (x) = e<sup>a + 2 - x </sup> ( x - a - 2 )
 
  
 
Um die dritte Ableitung zu bekommen muss man hier die Produktregel verwenden.
 
Um die dritte Ableitung zu bekommen muss man hier die Produktregel verwenden.
 
[[http://de.wikipedia.org/wiki/Produktregel Hilfe zur Produktregel]]
 
[[http://de.wikipedia.org/wiki/Produktregel Hilfe zur Produktregel]]
  
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f<sub>a</sub><sup>'''</sup> (x) = e<sup>a + 2 - x </sup> ( x - a - 2 ) (-1) + 1 e<sup>a + 2 - x </sup>
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: <math>f_a^{'''} (x) = e^{a+2-x}\cdot ( x - a - 2 )\cdot (-1) + 1\cdot e^{a+2-x}</math><br />
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                                = e<sup>a + 2 - x </sup> ( a + 2 - x + 1 )
+
:::                                <math>= e^{a+2-x}\cdot ( a + 2 - x + 1 )</math><br />
−
                                = ( a + 3 - x ) e<sup>a + 2 - x </sup>
+
:::                                <math>= ( a + 3 - x )\cdot e^{a+2-x}</math><br />
  
 
Wenn die dritte Ableitung am möglichen Wendepunkt ungleich Null ist, liegt ein Wendepunkt vor.
 
Wenn die dritte Ableitung am möglichen Wendepunkt ungleich Null ist, liegt ein Wendepunkt vor.
  
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f<sub>a</sub><sup>'''</sup> ( a + 2 ) = ( a + 3 - ( a + 2 )) e<sup>a + 2 - ( a + 2 ) </sup>
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: <math>f_a^{'''} ( a + 2 ) = ( a + 3 - ( a + 2 ))\cdot e^{a + 2 - ( a + 2 )}</math><br />
−
                                      = ( a + 3 - a - 2 ) e<sup>a + 2 - a - 2 ) </sup>
+
::::                                      <math>= ( a + 3 - a - 2 ) \cdot e^{a + 2 - a - 2 }</math><br />
−
                                      = 1 e^0
+
::::                                      <math>= 1\cdot e^{0}</math><br />
−
                                      = 1  
+
::::                                      <math>= 1\;</math><br />
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                                      > 0
+
::::                                      <math>> 0\;</math><br />
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--> WP ( a + 2 / 2 )
+
<math>\rightarrow</math>  WP <math>( a + 2 / 2 )\;</math>

Aktuelle Version vom 26. Januar 2010, 19:43 Uhr

y = f_a (x) = ( x - a )\cdot e^{a+2-x} mit x\in R ; a\in R

Inhaltsverzeichnis

Wendepunkte

Zweite Ableitung: siehe Überprüfung des Extrempunkts; 2. Möglichkeit

f_a^{''} (x) = e^{a+2-x}\cdot ( x - a - 2 )

Um mögliche Wendepunkte zu bestimmen benötigt man die zweite Ableitung.

Die zweite Ableitung einer Funktion beschreibt das Krümmungsverhalten dieser. Dieses ändert sich für f_a^{''} (x) = 0\; und deshalb könnte ein möglicher Wendepunkt auftreten.


f_a^{''} (x) = 0\;
e^{a+2-x}\cdot ( x - a - 2 ) = 0 \;\;\;\;\;\; | \; e^{a+2-x} > 0
\rightarrow \; ( x - a - 2 ) = 0 \;\;\;\;\;\;\;\; | \; + 2 ; + a
x = a + 2\;


Möglicher Wendepunkt bei x = a + 2 \;
Einsetzen des möglichen Wendepunkts in die Funktion.


f_a ( a + 2 ) = ( a + 2 - a )\cdot e^{a+2-(a + 2 )}
= 2\cdot e^{a+2-a - 2 )}
= 2\cdot e^0
= 2\;


\rightarrow mög. WP \; ( a + 2 / 2 )


Überprüfung des Wendepunkts

1. Möglichkeit; H-Methode

Wenn es einen Vorzeichenwechsel (VZW) des Krümmungsverhaltens der Funktion am möglichen Wendepunkt gibt, kann man von einem Wendepunkt sprechen.


I.

\lim_{h\to 0}f_a^{''} ( a + 2 - h ) = \lim_{h\to 0}e^{a + 2 - (a + 2 - h )}\cdot ( a + 2 - h - a - 2 )
=\lim_{h\to 0} e^{a + 2 - a- 2 + h }\cdot (- h)
= \lim_{h\to 0}e^{h }\cdot ( -h )
= \lim_{h\to 0}-h\cdot e^{h }

\lim_{h\to 0}f_a^{''} ( a + 2 - h )<0

\rightarrow An der Stelle \lim_{h\to 0}f_a^{''}( a +2+ h )\; ist der Graph linksgekrümmt.(I)


II.

\lim_{h\to 0}f_a^{''} ( a + 2 + h ) =\lim_{h\to 0} e^{a + 2 - (a + 2 + h )}\cdot ( a + 2 + h - a - 2 )
=\lim_{h\to 0} e^{a + 2 - a- 2 - h }\cdot (+ h)
= \lim_{h\to 0}e^{-h }\cdot ( +h )
= \lim_{h\to 0}+h\cdot e^{-h }

\lim_{h\to 0}f_a^{''} ( a + 2 + h )>0

\rightarrow An der Stelle \lim_{h\to 0}f_a^{'}(a+2-h )\; ist der Graph rechtsgekrümmt.(II)


Aus (I) und (II) folgt:
VZW bei x = a + 2\;
\Rightarrow Wendepunkt bei \;( a + 2 / 2 )\;


zur Verdeutlichung:

Krümmungsverhalten
x<2+a x=2+a x>2+a
ea + 2 - x + +
( x - a - 2 ) - +
fa ( x ) - +

\rightarrow WP ( a + 2 / 2 )\;

2. Möglichkeit; 3.Ableitung

Verwendung der dritten Ableitung

f_a (x) = e^{a+2-x}\cdot ( x - a)

f_a^{'} (x) = e^{a+2-x}\cdot ( 1+a-x )

f_a^{''} (x) = e^{a+2-x}\cdot ( x - a - 2 )


Um die dritte Ableitung zu bekommen muss man hier die Produktregel verwenden. [Hilfe zur Produktregel]

f_a^{'''} (x) = e^{a+2-x}\cdot ( x - a - 2 )\cdot (-1) + 1\cdot e^{a+2-x}
= e^{a+2-x}\cdot ( a + 2 - x + 1 )
= ( a + 3 - x )\cdot e^{a+2-x}

Wenn die dritte Ableitung am möglichen Wendepunkt ungleich Null ist, liegt ein Wendepunkt vor.

f_a^{'''} ( a + 2 ) = ( a + 3 - ( a + 2 ))\cdot e^{a + 2 - ( a + 2 )}
= ( a + 3 - a - 2 ) \cdot e^{a + 2 - a - 2 }
= 1\cdot e^{0}
= 1\;
> 0\;


\rightarrow WP ( a + 2 / 2 )\;

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