Lösung b): Unterschied zwischen den Versionen
(→Jeder Graph Ga bestitzt genau einen Wendepunkt Wa. Zeigen sie, dass die Wendepunkte Wa auf einer parallelen zur t-Achse liegen) |
K (→Jeder Graph Ga bestitzt genau einen Wendepunkt Wa. Zeigen sie, dass die Wendepunkte Wa auf einer parallelen zur t-Achse liegen) |
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'''<u>Suche nach dem Wendepunkt:</u>''' | '''<u>Suche nach dem Wendepunkt:</u>''' | ||
− | + | <math>f''_{a}(t) = 58\cdot a^{2} \cdot \frac {29\cdot e^{at} - e^{2at}}{(e^{at}+29)^{3}} = 0 </math> | |
− | + | ::<math>58\cdot a^{2} (29\cdot e^{at} - e^{2at}) = 0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;| : 58\cdot a^{2}</math> | |
− | + | ::::<math>(29\cdot e^{at} - e^{2at}) = 0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;| + e^{2at}\;</math> | |
− | + | :::::::<math>29 e^{at} = e^{2at}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;| ln\;</math> | |
− | + | :::::<math>ln(29 e^{at}) = ln(e^{2at})\;</math> | |
− | + | :::<math>ln(29) + ln(e^{at}) = ln(e^{2at})\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;| - ln(e^{at})\;</math> | |
− | + | :::<math>ln(e^{2at}) - ln(e^{at}) = ln(29)\;</math> | |
− | + | ::<math>2at \cdot ln(e) - at\cdot ln(e) = ln(29)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;[ln(e)=1]</math> | |
− | + | ::::::<math>2at - at = ln(29)\;</math> | |
− | + | ::::::::<math>at = ln(29)\;</math> | |
− | + | ::::::::<math>t = \frac {ln29} {a}</math> | |
− | + | ||
− | + | '''<u>Beweis für Wendepunkt:</u>''' | |
− | + | '''1. Möglichkeit: Die H-Methode''' | |
Man nähert sich dem möglichen Wendepunkt mit Hilfe eines Grenzwertes an und versucht herauszufinden, ob ein Vorzeichenwechsel am Wendepunkt stattfindet. Falls es einen Vorzeichenwechsel geben sollte, ist dies der eindeutige Beweis für einen Wendepunkt an dieser Stelle. | Man nähert sich dem möglichen Wendepunkt mit Hilfe eines Grenzwertes an und versucht herauszufinden, ob ein Vorzeichenwechsel am Wendepunkt stattfindet. Falls es einen Vorzeichenwechsel geben sollte, ist dies der eindeutige Beweis für einen Wendepunkt an dieser Stelle. | ||
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Der Zähler ist kleiner 0, da gilt: <math>e^{ah} < e^{(ah)^{2}}</math>; dies liegt daran, dass der Faktor <math>(ah)^{2}\;</math> durch das Quadrat noch kleiner wird und somit der Term noch stärker gegen 0 strebt. Da jedoch nun die Kehrwerte gebildet werden, wird der Term <math>\frac {1} {e^{(ah)^{2}}}\;</math> größer als der Term <math>\frac {1} {e^{(ah)}}\;</math> Negativ ist der Zähler nun, da <math>e^{ah}\;</math> gegen 1<sup>-</sup> geht. | Der Zähler ist kleiner 0, da gilt: <math>e^{ah} < e^{(ah)^{2}}</math>; dies liegt daran, dass der Faktor <math>(ah)^{2}\;</math> durch das Quadrat noch kleiner wird und somit der Term noch stärker gegen 0 strebt. Da jedoch nun die Kehrwerte gebildet werden, wird der Term <math>\frac {1} {e^{(ah)^{2}}}\;</math> größer als der Term <math>\frac {1} {e^{(ah)}}\;</math> Negativ ist der Zähler nun, da <math>e^{ah}\;</math> gegen 1<sup>-</sup> geht. | ||
− | + | '''2. Möglichkeit: 3. Ableitung''' | |
Mit Hilfe der 3. Ableitung lässt sich sehr leicht herausfinden, ob an dem möglichen Wendepunkt auch wirklich einer vorhanden ist. Mann muss lediglich die 3. Ableitung an der Stelle des möglichen Wendepunkts bilden und schauen, ob die 3. Ableitung an dieser Stelle ungleich 0 ist. Falls dies der Fall ist, ist dies der eindeutige Beweis für die Existenz eines Wendepunkts. | Mit Hilfe der 3. Ableitung lässt sich sehr leicht herausfinden, ob an dem möglichen Wendepunkt auch wirklich einer vorhanden ist. Mann muss lediglich die 3. Ableitung an der Stelle des möglichen Wendepunkts bilden und schauen, ob die 3. Ableitung an dieser Stelle ungleich 0 ist. Falls dies der Fall ist, ist dies der eindeutige Beweis für die Existenz eines Wendepunkts. | ||
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<math>\Rightarrow</math> An der Stelle <math>t = \frac {ln29} {a}</math> ist eindeutig ein Wendepunkt nachgewiesen worden, da die 3. Ableitung an dieser Stelle ungleich 0 ist. | <math>\Rightarrow</math> An der Stelle <math>t = \frac {ln29} {a}</math> ist eindeutig ein Wendepunkt nachgewiesen worden, da die 3. Ableitung an dieser Stelle ungleich 0 ist. | ||
− | + | '''3. Möglichkeit: Vorzeichentabelle''' | |
Die Möglichkeit des Nachweises durch die Vorzeichentabelle, ist eine vereinfachte Form der H-Methode. Sie ist deutlich zeitsparender, weshalb sie von mir in Prüfungen empfohlen wird, da somit sehr schnell und fehlerfrei nachgewiesen werden kann, ob es einen Vorzeichenwechsel an der möglichen Stelle gibt. | Die Möglichkeit des Nachweises durch die Vorzeichentabelle, ist eine vereinfachte Form der H-Methode. Sie ist deutlich zeitsparender, weshalb sie von mir in Prüfungen empfohlen wird, da somit sehr schnell und fehlerfrei nachgewiesen werden kann, ob es einen Vorzeichenwechsel an der möglichen Stelle gibt. | ||
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Aus der Vorzeichentabelle lässt sich nun ganz leicht erkennen, dass es an der Stelle <math>\frac {ln29}{a}</math> einen Vorzeichenwechsel der 2. Ableitung von <math>+</math> zu <math>-</math> gibt. Somit ist es ein Beweis für einen Wendepunkt. | Aus der Vorzeichentabelle lässt sich nun ganz leicht erkennen, dass es an der Stelle <math>\frac {ln29}{a}</math> einen Vorzeichenwechsel der 2. Ableitung von <math>+</math> zu <math>-</math> gibt. Somit ist es ein Beweis für einen Wendepunkt. | ||
− | + | '''<u>Begründung, warum alle Wendepunkte auf einer Parallelen zur t-Achse liegen:</u>''' | |
==Zeichnen sie die Graphen G<sub>0,75</sub> und G<sub>1</sub> in ein und dasselbe Koordinatensystem und schlussfolgern Sie, welchen Einfluss der Parameter a auf den Verlauf der Graphen G<sub>a</sub> hat== | ==Zeichnen sie die Graphen G<sub>0,75</sub> und G<sub>1</sub> in ein und dasselbe Koordinatensystem und schlussfolgern Sie, welchen Einfluss der Parameter a auf den Verlauf der Graphen G<sub>a</sub> hat== |
Version vom 24. Januar 2010, 17:27 Uhr
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Untersuchen sie die Funktionen fa auf Nullstellen und lokale Extremstellen
Suche nach Nullstellen:
keine Nullstellen, da die e-Funktion nie 0 wird und somit der Ausdruck ebenfalls nie 0 werden kann
Suche nach Extremstellen:
keine Extremstellen, da die e-Funktion nie 0 wird und somit der Ausdruck ebenfalls nie 0 werden kann
Jeder Graph Ga bestitzt genau einen Wendepunkt Wa. Zeigen sie, dass die Wendepunkte Wa auf einer parallelen zur t-Achse liegen
Die 2. Ableitung:
Suche nach dem Wendepunkt:
Beweis für Wendepunkt:
1. Möglichkeit: Die H-Methode
Man nähert sich dem möglichen Wendepunkt mit Hilfe eines Grenzwertes an und versucht herauszufinden, ob ein Vorzeichenwechsel am Wendepunkt stattfindet. Falls es einen Vorzeichenwechsel geben sollte, ist dies der eindeutige Beweis für einen Wendepunkt an dieser Stelle.
1. Teil:
Da die Faktoren alle positiv sind, kann ein möglicher Vorzeichenwechsel nur von dem Term abhängig sein. Dieser wird nun im folgenden betrachtet:
Der Zähler ist größer 0, da gilt: ; dies liegt daran, dass der Faktor durch das Quadrat noch kleiner wird und somit der Term noch stärker gegen 0 strebt. Positiv ist der Zähler nun, da gegen 1+ geht.
2. Teil:
Da die Faktoren alle positiv sind, kann ein möglicher Vorzeichenwechsel nur von dem Term abhängig sein. Dieser wird nun im folgenden betrachtet:
Der Zähler ist kleiner 0, da gilt: ; dies liegt daran, dass der Faktor durch das Quadrat noch kleiner wird und somit der Term noch stärker gegen 0 strebt. Da jedoch nun die Kehrwerte gebildet werden, wird der Term größer als der Term Negativ ist der Zähler nun, da gegen 1- geht.
2. Möglichkeit: 3. Ableitung
Mit Hilfe der 3. Ableitung lässt sich sehr leicht herausfinden, ob an dem möglichen Wendepunkt auch wirklich einer vorhanden ist. Mann muss lediglich die 3. Ableitung an der Stelle des möglichen Wendepunkts bilden und schauen, ob die 3. Ableitung an dieser Stelle ungleich 0 ist. Falls dies der Fall ist, ist dies der eindeutige Beweis für die Existenz eines Wendepunkts.
Die 3. Ableitung:
Möglichen Wendepunkt in die 3. Ableitung einsetzen:
An der Stelle ist eindeutig ein Wendepunkt nachgewiesen worden, da die 3. Ableitung an dieser Stelle ungleich 0 ist.
3. Möglichkeit: Vorzeichentabelle
Die Möglichkeit des Nachweises durch die Vorzeichentabelle, ist eine vereinfachte Form der H-Methode. Sie ist deutlich zeitsparender, weshalb sie von mir in Prüfungen empfohlen wird, da somit sehr schnell und fehlerfrei nachgewiesen werden kann, ob es einen Vorzeichenwechsel an der möglichen Stelle gibt.
Man zerlegt die 2. Ableitung in seine einzelnen Faktoren und betrachtet das Verhalten vor dem möglichen Wendepunkt und nach dem möglichen Wendepunkt. Man notiert sich nun, ob es einen Vorzeichenwechsel bei einem der Faktoren gibt und schlussfolgert aus den einzelnen Vorzeichenwechsel den Vorzeichenwechsel der 2. Ableitung.
Aus der Vorzeichentabelle lässt sich nun ganz leicht erkennen, dass es an der Stelle einen Vorzeichenwechsel der 2. Ableitung von zu gibt. Somit ist es ein Beweis für einen Wendepunkt.
Begründung, warum alle Wendepunkte auf einer Parallelen zur t-Achse liegen: