Lernpfad zur zentrischen Streckung und den Ähnlichkeitssätzen/Ähnlichkeit - Übung 4

Aufgabe 1

Aufgabe:
Stelle fest, ob die Dreiecke ABC und A'B'C' ähnlich sind, wenn:
a) a = 5; b = 8; c = 10 und a' = 2,5; b' = 4; c' = 5
b) $\alpha$ = 30°; $\beta$ = 100° und $\alpha'$ = 50°; $\gamma'$ = 100°
c) a = 5; c = 8; $\gamma$ = 100° und b' = 2,5; c' = 4; $\alpha'$ = 100°
Tipp: Wenn du unsicher bist kann dir eine Skizze helfen, in der du die gegebenen Seiten bzw. Winkel farbig markierst!

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a) Die beiden Dreiecke sind ähnlich, da sie im Verhältnis ihrer Seiten übereinstimmen (S : S : S - Satz).
$\frac {a} {a'} = \frac {b} {b'} = \frac {c} {c'} = 2$

b) Die beiden Dreiecke sind ähnich, da sie in zwei Winkeln übereinstimmen (WW - Satz).
$\gamma =$ 180° - ($\alpha$ + $\beta) =$ 180° - (30° + 100°) $=$ 50° $= \alpha'$

c) Die Dreiecke sind nicht ähnlich. Im Dreieck ABC sind zwei Seiten und ein Gegenwinkel, im Dreieck A'B'C' zwei Seiten und der Zwischenwinkel bekannt.

Aufgabe 2

Aufgabe:

Zeige, dass das Rechteck ABCD in drei ähnliche Dreiecke zerlegt ist. $\alpha$ = 90°

Zur Erinnerung hier noch einmal die verschiedenen Winkelarten. [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

• Nebenwinkel: ergänzen sich zu 180° z. B. $\alpha$₁ und $\alpha$₂
  
• Scheitelwinkel: sind gleich groß z. B. $\beta$₂ und $\beta$₄
  
• Wechselwinkel: sind gleich groß z. B. $\beta$₁ und $\alpha$₃
  
• Stufenwinkel: sind gleich groß z. B. $\beta$₂ und $\alpha$₂

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Dies ist nur ein Lösungsvorschlag, es gibt mehr als eine richtige Lösung!

• $\alpha$₁ $=$ $\alpha$₂ $=$ $\alpha$₃ $=$ 90° (gegeben oder wegen Rechteck)
  
• $\gamma$₂ $=$ $\gamma$₃ (Wechselwinkel)
  $\rightarrow$ $\triangle{DEC}$ ~ $\triangle{EBC}$ (WW - Satz)
  
• $\beta$₁ $=$ $\beta$₂ (Wechselwinkel)
  $\rightarrow$ $\triangle{DEC}$ ~ $\triangle{AED}$ (WW - Satz)
  

$\Rightarrow$ Die drei Dreiecke sind zueinander ähnlich

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