Lösungen zum Übungsblatt zum Kathetensatz (Aufgaben 1-5)

Aus RMG-Wiki
Wechseln zu: Navigation, Suche

Arbeitsauftrag:

  • Hole dir das Übungsblatt zum Kathetensatz
  • Bearbeite die Aufgaben 1-5 und vergleiche deine Lösungen mit denen auf der Seite

Aufgabe 1

  • Da {n\,} an {d\,} anliegt, muss {m\,} an {f\,} anliegen


  • {e=m+n\,}
  • {n=e-m=7cm-2cm=5cm\,}


  • d^2=n \cdot e
  • d=\sqrt{n \cdot e}=\sqrt{5cm \cdot 7cm}=\sqrt{35}cm


  • f^2=m \cdot e
  • f=\sqrt{m \cdot e}=\sqrt{2cm \cdot 7cm}=\sqrt{14}cm

Aufgabe 2

  • v^2=w \cdot p
  • v=\sqrt{w \cdot q}=\sqrt{9cm \cdot 5cm}=\sqrt{45}cm

  • {w=p+q\,}
  • {p=w-q=9cm-5cm=4cm\,}

  • u^2=w \cdot p
  • u=\sqrt{w \cdot p}=\sqrt{4cm \cdot 9cm}=\sqrt{36}cm=6cm

Aufgabe 3

  • h_d^2=p \cdot q
  • q=\frac{h_d^2}{p}=\frac{(2,4cm)^2}{3,2cm}=1,8cm

  • {d=p+q=3,2cm+1,8cm=5cm\,}

  • {c^2=h_d^2+q^2\,} (Man berechnet c über den Satz des Pythagoras im kleinen rechtwinkligen Dreieck)
  • c=\sqrt{h_d^2+q^2}=\sqrt{(2,4cm)^2+(1,8cm)^2}=3cm

ODER:

  • c^2=d \cdot q (Man berechnet c über den Kathetensatz im ganzen rechtwinkligen Dreieck)
  • c=\sqrt{d \cdot q}=\sqrt{5cm \cdot 1,8cm}=3cm

  • {b^2=h_d^2+p^2\,} (Man berechnet b über den Satz des Pythagoras im kleinen rechtwinkligen Dreieck)
  • b=\sqrt{h_d^2+p^2}=\sqrt{(2,4cm)^2+(3,2cm)^2}=4cm

ODER:

  • b^2=d \cdot p (Man berechnet c über den Kathetensatz im ganzen rechtwinkligen Dreieck)
  • b=\sqrt{d \cdot p}=\sqrt{5cm \cdot 3,2cm}=4cm

Aufgabe 4

  • k=\sqrt{A_k}=6cm
  • l=\sqrt{A_l}=3cm

  • {m^2=k^2+l^2\,}
  • m=\sqrt{k^2+l^2}=\sqrt{(6cm)^2+(3cm)^2}=\sqrt{45}cm

  • Wähle Hypotenusenabschnitte {p\,} und {q\,}, wobei {p\,} an {l\,} anliegt
  • l^2=m \cdot p
  • p=\frac{l^2}{m}=\frac{(6cm)^2}{\sqrt{45}cm} \approx 5,37cm

  • k^2=m \cdot q
  • q=\frac{k^2}{m}=\frac{(3cm)^2}{\sqrt{45}cm} \approx 1,34cm

  • h_m^2=p \cdot q
  • h_m=\sqrt{p \cdot q}=\sqrt{5,37cm \cdot 1,34cm}=7,2cm

Aufgabe 5

  • Dreieck ist rechtwinklig, da 180^\circ-\beta-\gamma=90^\circ
  • {a\,} ist Hypotenuse, da {\gamma\,} bei {C\,} liegt und {\beta\,} bei {B\,}, d.h. dem Winkel {\alpha\,} liegt die längste Seite, also {a\,} gegenüber (nicht gegeben, jedoch in der Mathematik normalerweise so gewählt)

  • {a^2=b^2+c^2\,}
  • {c^2=a^2-b^2\,}
  • c=\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{(9cm)^2-(4cm)^2}=\sqrt{65}cm

  • Einen der beiden Hypotenusenabschnitte über den Kathetensatz berechnen:
  • Wähle Hypotenusenabschnitte {p\,} anliegend an {b\,} und {q\,} anliegend an {c\,}
  • b^2=a \cdot p
  • p=\frac{b^2}{a}=\frac{(4cm)^2}{9cm}=\frac{16}{9}cm

  • {a=p+q\,}
  • q=a-p=9cm-\frac{16}{9}cm=\frac{65}{9}cm

  • h_a^2=p \cdot q
  • h_a=\sqrt{p \cdot q}
  • h_a=\sqrt{\frac{16}{9}cm \cdot \frac{65}{9}cm} \approx 3,58cm


Wenn du fertig bist geht es hier zu einer Anwendung des Kathetensatzes