Durchflossenes Wasservolumen nach t = 24

Beispielaufgabe zur Verdeutlichung

In diesem Beispiel soll für t = 24 und a = 3 zum einen der Wasserstand zum Zeitpunkt t errechnet werden und anschließend das Gesamtvolumen an Wasser, welches seit Beginn (t = 0) durch den Fluss geflossen ist.

gegeben: $f (t) = \frac{1}{4}t^3 - a t^2 + a^2 t; t = 24; a = 3$

Wasserstand nach 24 Monaten

$f (24) = \frac{1}{4}*24^3 - 24^2*3 + 24*3^2= 1944$

Das Ergebnis wäre also $1,944*10^9 \frac{m^3}{Monat}$.

[In der Graphik rechts durch das blaue Kreuz gekennzeichnet.]

Dieser Wasserstandswert ist sicherlich eine ziemlich grobe Abweichung vom Realwert.

Durchflossenes Wasservolumen nach 24 Monaten

$\int_{0}^{24} F (x)\,dx = \left[ \frac{1}{16}t^4 - t^3 + \frac{9}{2}t^2 \right]_{0}^{24}$

$= \left ( \frac{1}{16}*24^4 - 24^3 + \frac{9}{2}*24^2 \right ) - 0 = 9504$

$\Rightarrow 9,504 * 10^9 m^3$wären also in den ersten 24 Monaten durch den Fluss geflossen.

Wäre t noch viel viel größer, wäre das errechnete Ergebnis noch viel unrealistischer, da es exponentiell größer werden würde.

Ergebnis

Aus diesem Grund handelt es sich bei der Funktion eher um eine sinusähnliche Funktion, da eine Potenzfunktion bei wachsendem t immer unrealistischere Werte bekommt.

Eine mögliche Funktion zur genaueren Bestimmung der Wasserstände im Fluss wäre die Funktion $g(x) = a * \sin (t) + a$. Im Gegensatz zur Funktion f (x) zeigt sie auch für $t \rightarrow + \infty$ noch realistische Werte an. Zurück zur Aufgabe