Bernoulli

Buch Seite 178ff/74, 75, 76, 79, 80, 84, 86 Philipp Issle

Nr. 74

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass an der letzten Dezimalstelle der Zahlen einer bestimmten Tabelle eine Null steht, sei p = 0,1. Geben sie eine untere Schranke für die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass die relative Häufigkeit der Null nach a) 100, b) 1000, c) 10000, d) 100000 Überprüfungen sich um nicht mehr als 0,01 von p unterscheidet.

geg: p = 0.1  q = 0.9;  = 0.01 ges: P

        n = 100, 1000, 10000, 100000
                            

relative Häufigkeit: P(|X/n- p|≤"" )>1- (p∙q)/(n∙ε²)

n = 100: P(|X/n- 0,1|≤0,01)>1- (0,1∙0,9)/(100∙(0,01)²) = -8 nicht zulässig

n = 1000: P(|X/n- 0,1|≤0,01)>1- (0,1∙0,9)/(1000∙(0,01)²) = 0.1

n = 10000: P(|X/n- 0,1|≤0,01)>1- (0,1∙0,9)/(10000∙(0,01)²) = 0.91

n = 100000: P(|X/n- 0,1|≤0,01)>1- (0,1∙0,9)/(10000∙(0,01)²) =0.991

Nr. 75

.. wurde schon auf dem Einführungsblatt gelöst. P ≈ 0.96

Nr. 76

Man vermutet, dass in einer Urne gleich viel schwarze und weiße Kugeln sind. Es wird 1000mal eine Kugel mit Zurücklegen gezogen. Sollte weniger als 400mal oder mehr als 600mal eine schwarze Kugel gezogen werden, so entschließt man sich, von der Vermutung abzugehen.

Man gebe eine obere Schranke für die Wahrscheinlichkeit an, dass man irrtümlich von seiner Vermutung abgeht, obwohl sie richtig ist. Wie müsste man bei 1000maligem Ziehen die Entscheidung abändern, damit man mit weniger als 2 % Wahrscheinlichkeit irrtümlich von der richtigen Vermutung abgeht?

geg: n = 1000, p = 0.5, q = 0.5; (E = n∙p = 500)  c = 100 ges: P

a)

absolute Häufigkeit: P(|X-n∙p|>c)< (n∙p∙q)/c²

P(|X-n∙p|>100)< (1000∙0.5∙0.5)/((100)²) = 0.025 = 2.5 %

b) ges: c

absolute Häufigkeit: P(|X-n∙p|>c)< (n∙p∙q)/c² < 0.020

P(|X-n∙p|>c)< (1000∙0.5∙0.5)/c² < 0.020 c < 111.8  c = 111

Intervall ]389 ; 611[

Nr. 79

Welche Versuchszahl ist mindestens erforderlich, damit sich die relative Trefferhäufigkeit von der Trefferwahrscheinlichkeit p = 0.6 mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als 99.9 % um höchstens 0.02 unterscheidet?

geg: p = 0.6  q = 0.4,  = 0.02 ges: n

relative Häufigkeit: P(|X/n- p|≤"" )>1- (p∙q)/(n∙ε²) ≥ 0.999

P(|X/n- 0.6|≤0.02)>1- (0.6∙0.4)/(n∙(0.02)²) ≥ 0.999

n ≥ 600000

Es sind mindestens 600.000 Versuche erforderlich.

Nr. 80

Wie groß ist die Anzahl der Versuche, die mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als 99 % die gesuchte Wahrscheinlichkeit p mit einem absoluten Fehler liefern, der 1 % nicht überschreitet?

geg: p = unbekannt;  = 0.01 ges: n

relative Häufigkeit: P(|X/n- p|≤"" )>1- 1/(4∙n∙ε²) ≥ 0.99

P(|X/n-p|≤0.01)>1- 1/(4∙n∙(0.01)²) ≥ 0.999

n ≥ 250000

Es sind mindestens 250.000 Versuche erforderlich.

Nr. 82 und 83

Nr. 84 und 85

Ein Laplace-Würfel wird 500mal geworfen. In welchem Intervall liegt mit mehr als 90 % Wahrscheinlichkeit die Anzahl der geworfenen Sechsen?

geg: p = 1/6, q = 5/6, n = 500 ges: c & [Intervall]

absolute Häufigkeit: P(|X-n∙p|≤c)>1- (n∙p∙q)/c² ≥ 0.90

P(|X-n∙p|≤c)>1- (500∙1/6∙5/6)/c² ≥ 0.90

c ≥ 26.35  c = 27 (E = n∙p = 500∙1/6 ≈ 83)

Intervall ]56 ; 110[

Nr. 86

Eine Urne enthält einen unbekannten Anteil roter Kugeln. Es wird 500mal eine Kugel mit Zurücklegen gezogen. Dabei wird genau 180mal eine rote Kugel gezogen. Man gebe Intervalle an, die mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als 95 % den Anteil der roten Kugeln in der Urne überdecken. näherungsweise mit Hilfe der gröberen Tschebyschew-Ungleichung

geg: n = 500, p = ?; beim Versuch p =0.36  q = 0.62 ges: c & [Intervall] a) absolute Häufigkeit: P(|X-n∙p|≤c)>1- (n∙p∙q)/c² ≥ 0.95

P(|X-n∙p|≤c)>1- (500∙0.36∙0.62)/c² ≥ 0.95

c ≥ 47.24  c = 48 (E = n∙p = 500∙0.36 ≈ 180)

Intervall ]132 ; 228[

b) absolute Häufigkeit: P(|X-n∙p|≤c)>1- n/(4∙c²) ≥ 0.95

P(|X-n∙p|≤c)>1- 500/(4∙c²) ≥ 0.95

c ≥ 50  c = 50 (E = n∙p = 500∙0.36 ≈ 180)

Intervall [130 ; 230]

Nr 87