2009 V

Leistungskurs Mathematik (Bayern): Abiturprüfung 2009 Analytische Geometrie V Download der Originalaufgaben: Abitur 2009 LK Mathematik Bayern - Lösungen zum Ausdrucken Lösungen von Christoph Wacker, Lea Mainberger und Irina Jerschow

Gegeben sind in einem kartesischen Koordinatensystem des IR3 die Punkte A(5|1|0) und B(1|5|2), die Gerade g : $\vec x = \begin{pmatrix} -8 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix} + \lambda \cdot\begin{pmatrix} 7 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}$, λ ∈ IR sowie die Ebenenschar Ek : kx1 + x2 + kx3 −11 = 0 , k ∈ IR.

Aufgabe 1 a) Es gibt eine Gerade h, die in allen Ebenen der Schar Ek enthalten ist. Ermitteln Sie eine Gleichung der Geraden h in Parameterform. [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] b) Weisen Sie nach, dass genau eine Ebene der Schar echt parallel zur Geraden g ist. In welcher Lagebeziehung stehen folglich g und h? Begründen Sie Ihre Antwort. [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

Aufgabe 2 a) Zeigen Sie, dass die Punkte A und B in der Ebene E2 liegen, und bestimmen Sie die Koordinaten des Schnittpunkts C von E2 mit der Geraden g. [Zur Kontrolle: C(−1|1| 6)] [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] b) Weisen Sie nach, dass das Dreieck ABC gleichschenklig-rechtwinklig ist, und ermitteln Sie die Koordinaten eines Punkts D so, dass das Viereck ABCD ein Quadrat ist. [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] Das Quadrat ABCD als Grundfläche bildet zusammen mit einem Punkt S als Spitze eine vierseitige Pyramide ABCDS. Der Punkt S liegt dabei auf der Geraden g und ist so gewählt, dass die Pyramide gerade ist, das heißt, der Fußpunkt F der Pyramidenhöhe ist gleichzeitig der Diagonalenschnittpunkt des Quadrats. c) Bestimmen Sie die Koordinaten der Punkte F und S. [Zur Kontrolle: S(6|3|7)] [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] d) Ermitteln Sie das Volumen der Pyramide sowie den Inhalt ihrer Oberfläche. [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] e) K sei die Kugel, auf der alle Ecken der Pyramide ABCDS liegen. Bestimmen Sie die Koordinaten des Mittelpunkts M und den Radius r der Kugel K und zeigen Sie, dass M im Inneren der Pyramide liegt. [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] Alternativer Lösungsweg: f) Betrachtet werden nun eine gerade Pyramide mit dem Quadrat ABCD als Grundfläche und der Höhe h' > 0 sowie die Kugel durch die Ecken dieser Pyramide. Für welche Werte von h' liegt der Mittelpunkt dieser Kugel außerhalb der Pyramide? [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]