2009 II

Leistungskurs Mathematik (Bayern): Abiturprüfung 2009 Infinitesimalrechnung II Download der Originalaufgaben: Abitur 2009 LK Mathematik Bayern - Lösungen zum Ausdrucken Lösungen erstellt von: Melissa Gehrig

Aufgabe 1 Gegeben ist die Schar der Funktionen $f_a : x \mapsto a^3 x^2 e^{-ax}$ mit a ∈ IR+ und der Definitionsmenge IR . Der Graph von fa wird mit Ga bezeichnet. Die Abbildung zeigt Ga für a = 0,04. a) Untersuchen Sie am Funktionsterm das Verhalten von fa für x → −∞ und x → +∞. Begründen Sie, dass Ga nie unterhalb der x-Achse verläuft. 3 BE [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] b) Bestimmen Sie Art und Lage der Extrempunkte von Ga. [Zur Kontrolle: Tiefpunkt bei x = 0 und Hochpunkt bei x = $\textstyle \frac{2}{a}$] 7 BE [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

Aufgabe 2 Nun werden die in IR definierten Integralfunktionen $F_a : x \mapsto \int\limits_{0}^{x} f_a(t)dt$ betrachtet. a) Begründen Sie ohne Ausführung der Integration, dass der Graph von Fa für alle a ∈ IR+ durch den Koordinatenursprung verläuft und dort einen Terrassenpunkt besitzt. 4 BE [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] b) Berechnen Sie durch partielle Integration einen integralfreien Term für Fa . Geben Sie den Grenzwert von Fa für x → +∞ an und interpretieren Sie das Ergebnis am Graphen Ga. [Teilergebnis: Fa = 2 - e-ax · (a2x2 + 2ax + 2)] 10 BE [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] c) Nun sei a = 0,04 . Der Graph der Funktion F0,04 besitzt für x > 0 einen Wendepunkt W. Bestimmen Sie die Koordinaten von W. Skizzieren Sie unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse den Graphen von F0,04 im Bereich − 30 ≤ x ≤ 200 in ein Koordinatensystem (x-Achse: 50 LE ≙ 2,5 cm, y-Achse: 1 LE ≙ 2,5 cm). Verwenden Sie dazu ohne Nachweis: F0,04(−30) ≈ −1,45 und F0,04(200) ≈1,97 . 6 BE [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

Aufgabe 3 Die Gruppe „Die toten Rosen“ gibt ein Konzert. Es beginnt um 20 Uhr, der Einlass wird ab 18 Uhr gewährt. Der Besucherzustrom soll durch eine Funktion g der Form g(x) = k ⋅ fa (x) mit geeignetem a und geeignetem k > 0 modelliert werden. Dabei bedeutet x die seit 18 Uhr vergangene Zeit in Minuten. g(x) gibt die momentane Zunahme der Besucherzahl in Besucher pro Minute an. a) Bestimmen Sie die Parameter a und k, wenn das Maximum der Funktion g um 18.50 Uhr auftritt und 26 Besucher pro Minute beträgt. 5 BE [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] b) Berechnen Sie für a = 0,04 und k = 1200 unter Verwendung des in Teilaufgabe 2b ermittelten Terms Fa (x) das Integral $\int\limits_{0}^{120} g(x)dx$ und interpretieren Sie das Ergebnis im Anwendungszusammenhang. 5 BE [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]