2009 I

Leistungskurs Mathematik (Bayern): Abiturprüfung 2009 Infinitesimalrechnung I Download der Originalaufgaben: Abitur 2009 LK Mathematik Bayern - Lösungen zum Ausdrucken

Aufgabe 1 Gegeben ist die Schar der Funktionen $f_k : x \mapsto \frac{x}{k + x^2}$ mit k ∈ IR+ und der Definitionsmenge IR . Der Graph von fk wird mit Gk bezeichnet. a) Untersuchen Sie Gk auf Symmetrie und geben Sie das Verhalten von fk für x → −∞ und x → +∞ an. [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] b) Bestimmen Sie Art und Lage der Extrempunkte von Gk . Die Hochpunkte von Gk bilden den Graphen einer Funktion h. Ermitteln Sie Funktionsterm und Definitionsmenge von h. [Teilergebnis: Hochpunkt bei x = k ] [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] c) Zeigen Sie, dass zwei verschiedene Graphen der Schar nur den Koordinatenursprung gemeinsam haben. [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] d) Skizzieren Sie unter Verwendung der bisherigen Ergebnisse die Graphen Gk für k = 0,25 und k =1 in ein gemeinsames Koordinatensystem (Längeneinheit 2 cm). Zeichnen Sie auch den Graphen von h ein. [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] e) Für jedes k begrenzt Gk mit der x-Achse im I. Quadranten ein Flächenstück, das sich ins Unendliche erstreckt. Zeigen Sie, dass dieses Flächenstück keinen endlichen Inhalt besitzt. Für beliebige positive k1, k2 (k1 ≠ k2) begrenzen Gk1 und Gk2 im I. Quadranten ein Flächenstück, das sich ebenfalls ins Unendliche erstreckt. Zeigen Sie, dass dieses Flächenstück einen endlichen Inhalt hat, und geben Sie diesen an. [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

Aufgabe 2 Nun wird die Schar der Funktionen $f_k : x \mapsto \frac{x}{k + x^2}$ mit k ∈ IR-0 betrachtet. Geben Sie die maximale Definitionsmenge Dk von fk in Abhängigkeit von k an. Zeigen Sie, dass an den Definitionslücken Polstellen vorliegen. Hat fk an den Polstellen einen Vorzeichenwechsel? Begründen Sie Ihre Antwort. [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

Aufgabe 3 a) Die drei folgenden Abbildungen zeigen Halbkreise mit Radius r und Mittelpunkten (0|0), (0|r) und (r|0) . Begründen Sie, dass der Halbkreis in Bild 1 Graph der Funktion $f_1 : x \mapsto \sqrt{r^2-x^2}$ mit − r ≤ x ≤ r ist. Die Halbkreise der Bilder 2 und 3 sind Graphen der Funktionen f2 und f3 . Geben Sie jeweils Term und Definitionsmenge für f2 und f3 an. b) Ein kugelförmiger Tank hat den Innenradius r und ist mit einer Flüssigkeit gefüllt. Die Höhe der eingefüllten Flüssigkeit ist h. Zeigen Sie mit Hilfe der Integralrechnung, dass für das Volumen V der eingefüllten Flüssigkeit gilt: $V = \pi(r h^2 - \frac{1}{3}h^3)$ [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]