2008 V

Leistungskurs Mathematik (Bayern): Abiturprüfung 2008 Analytische Geometrie V Download der Originalaufgaben: Abitur 2008 LK Mathematik Bayern - Gesamte Lösung

Aufgabe 1 Gegeben sind in einem kartesischen Koordinatensystem des $\mathbb{R}$3 die Punkte A(1|2|3), B(5|0|-1) und D(-1|6|-1) sowie St (1-t|8|t) mit $t \in$$\mathbb{R}$ \ {9} als Parameter. a) Zeigen Sie, dass die Punkte A, B und D eine Ebene E bestimmen, und ermitteln Sie eine Gleichung der Ebene E in Normalenform. (5 BE) Zur Kontrolle: E: 2x1+2x2+x3-9=0 Tipp anzeigen Tipp verstecken Ebene nur dann bestimmt, wenn die drei Punkte nicht auf einer Geraden liegen. Ermittlung des Normalenvektors mit Hilfe des Vektorproduktes Lösung anzeigen Lösung verstecken b) Weisen Sie nach, dass sich die Punkte A, B und D durch einen vierten Punkt C zu einem Quadrat ABCD ergänzen lassen, und berechnen Sie den Diagonalenschnittpunkt M dieses Quadrats. (4 BE) Teilergebnis: M(2|3|-1) Tipp anzeigen Tipp verstecken zz: $\overrightarrow { AB }$ $\bot$ $\overrightarrow { AD }$ und $\vert$$\overrightarrow { AB }$$\vert$=$\vert$ $\overrightarrow { AD }$$\vert$ Mittelpunkt des Quadrats liegt bei der Hälfte der Diagonalen Lösung anzeigen Lösung verstecken c) Für welchen Wert von t ist die Entfernung von St zu M minimal? (5 BE) Tipp anzeigen Tipp verstecken Lösung als Extremwertaufgabe Aufstellen des Allgemeinen Geradenvektors Lösung anzeigen Lösung verstecken Aufgabe 2 2) Das Quadrat ABCD als Begrenzungsfläche und die Strecke [DSt] als Seitenkante bestimmen ein Parallelflach. a) Berechnen Sie alle Werte von t, für die das Parallelflach den Rauminhalt V=144 hat. (6 BE) Tipp anzeigen Tipp verstecken 2 Methoden: Formel: V=Grundfläche $\cdot$ Höhe Formel: V= $\vert det \overrightarrow {DA}, \overrightarrow{DC}, \overrightarrow {DS_t} \vert$ Höhe des Parallelflachs ist der Abstand von St von der Grundebene E Lösung anzeigen Lösung verstecken b) Bestimmen Sie t so, dass das Parallelflach ein Quader ist. (3 BE) Tipp anzeigen Tipp verstecken Betrachte die Lagebeziehung von $\overrightarrow {DS_t}$ bezüglich des Normalenvektors. Lösung anzeigen Lösung verstecken Nun sei t=1. Die durch die Punkte A, D und S1 festgelegte Seitenfläche des Parallelflachs liegt in der Ebene F:2x1-x3+1=0. c) Im Punkt T(1|5|3) dieser Seitenfläche wird ein Lot errichtet. Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes U, in dem das Lot die Ebene E schneidet, und zeigen Sie, dass U nicht im Innern des Quadrats ABCD liegt.(7 BE) Tipp anzeigen Tipp verstecken Erstelle Gerade, die senkrecht auf F steht und durch den Punkt T verläuft. Gerade mit Ebene E schneiden lassen; Einsetzen in die Normalenform Lösung anzeigen Lösung verstecken d) Ermitteln Sie den Schnittwinkel der Ebenen E und F. (3 BE) Tipp anzeigen Tipp verstecken Formel! Lösung anzeigen Lösung verstecken Aufgabe 3 K sei die Kugel, die den Punkt M aus Teilaufgabe 1b als Mittelpunkt und den Radius r=3 hat. Sie wird durch eine zentrische Streckung mit A als Zentrum und dem Streckungsfaktor -2 auf die Kugel K' abgebildet. Ermitteln Sie die Koordinaten des Mittelpunkts M' von K', sowie den maximalen Abstand, den zwei Punkte P und P' haben können, wenn P auf K und P' auf K' liegt. (7 BE) Tipp anzeigen Tipp verstecken Veranschaulichung durch Skizze! Lösung anzeigen Lösung verstecken