2008 II

Leistungskurs Mathematik (Bayern): Abiturprüfung 2008 Infinitesimalrechnung II Download der Originalaufgaben: Abitur 2008 LK Mathematik Bayern Erstellt von Alistair Mainka und Benjamin Schleicher.

Aufgabe 1 Gegeben ist die Funktion $f(x)=e^{1-0,5x^2}$ mit Definitionsbereich Df = IR . Die Abbildung auf der folgenden Seite zeigt den Graphen Gf von f. a) Untersuchen Sie Gf rechnerisch auf Symmetrie und Schnittpunkte mit den Achsen. Bestimmen Sie das Verhalten von f für x → + ∞ und x → − ∞. (4BE) [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] b) Zeigen Sie, dass gilt: $f''(x)=(x^2-1)e^{1-0,5x^2}$. Bestimmen Sie durch Rechnung das Monotonieverhalten von f und die Koordinaten der Wendepunkte. (6BE) [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] Fragen anzeigen Fragen verstecken Nur eine Kleinigkeit: ist f nicht streng monoton steigend für x$\le$0 (anstatt x<0), analog streng monoton fallend für x$\ge$0 ?

Aufgabe 2 Die Integralfunktion F ist definiert durch $F(x)=\int_{0}^{x} f (t)\,dt$, x ∈ IR. a) Untersuchen Sie das Symmetrie-, Monotonie- und Krümmungsverhalten des Graphen von F. Bestimmen Sie aus der Abbildung mit Hilfe des Gitternetzes Näherungswerte für F(0,5), F(1), F(2) und F(4). Tragen Sie den Graphen von F im Bereich x ∈[−4;4] in die gegebene Abbildung ein. (8BE) [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] Könnt ihr die Abbildung mit dem eingezeichneten Graphen von F noch hochladen? b) Für x > 1 gilt offensichtlich $xe^{1-0,5x^2} > e^{1-0,5x^2}$. Zeigen Sie damit, dass $\int_{4}^{\infty } f (x)\,dx < 10^{-3}$ ist. Was folgt für die Funktionswerte von F für x ≥ 4? (5BE) [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] Bemerkung: Zweiter Teil der Aufgabe fehlt: Funktionswerte von F(x) für x ≥ 4 sind sehr klein, F(x) liegt nur noch minimal über x-Achse.

Aufgabe 3 Die Funktion f soll im Folgenden in einer Umgebung von x = 0 durch eine Polynomfunktion p mit dem Term $p(x) = ax^4 + bx^2 + c$ , a, b, c ∈ IR , angenähert werden. a) Bestimmen Sie die Koeffizienten a, b und c so, dass f und p an der Stelle x = 0 im Funktionswert und in den Werten der 1. bis einschließlich 4. Ableitung übereinstimmen. Ohne Nachweis darf verwendet werden: $f '''(0) = 0, f ''''(0) = 3e$ (6BE) [Zur Kontrolle: $p(x) = e \cdot (\frac{1}{8}x^4 - \frac{1}{2} x^2 + 1)$] [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] b) Zeigen Sie, dass p keine Nullstelle besitzt. Berechnen Sie den Inhalt A der Fläche, die von den Koordinatenachsen, dem Graphen von p und der Geraden x = 1 eingeschlossen wird, auf 4 Dezimalen gerundet. (5BE) [Zur Kontrolle: A ≈ 2,3332] [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] c) Bestimmen Sie nun den Wert des Integrals $\int_{0}^{1} f (x)\,dx$ mit Hilfe der Gauß’schen $\varphi$-Funktion($\varphi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi } } e^{-0,5x^2}$) und dem stochastischen Tafelwerk. Um wie viel Prozent weicht der Näherungswert aus Teilaufgabe 3b von diesem Ergebnis ab? (6BE) [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]