2008 I

Leistungskurs Mathematik (Bayern): Abiturprüfung 2008 Infinitesimalrechnung I Download der Originalaufgaben: Abitur 2008 LK Mathematik Bayern - Lösung gesamt Erarbeitet von Sebastian Waldhäuser & Daniel Greb

Aufgabe 1 Gegeben ist die Funktion $f:x\rightarrow \frac{ln(x^2)}{x}$ Df = IR \ {0}. Der Graph von f wird mit Gf bezeichnet. a) Untersuchen Sie das Symmetrieverhalten von Gf. Bestimmen Sie die Nullstellen von f und das Verhalten von f an den Rändern des Definitionsbereichs. (6 BE) [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] b) Bestimmen Sie die Koordinaten der Punkte von Gf mit waagrechter Tangente und skizzieren Sie Gf unter Verwendung der bisherigen Ergebnisse in ein Koordinatensystem. (7 BE) [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] Skizze [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] c) Zeigen Sie, dass für alle u >1 gilt: $\int_{\frac{1}{u} }^{u} f(x)\,dx=0$ . Interpretieren Sie das Ergebnis der Integration am Graphen von f. (7 BE) Bemerkung anzeigen Bemerkung verstecken Die folgende Überlegung gilt nur für x>0! [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] Skizze [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

Aufgabe 2 Betrachtet wird die Funktion K mit dem Term $K(v)=\frac{v}{\frac{v^2}{2a}+tv+s }$, v ∈ IR+, und den positiven Parametern a, t und s. K beschreibt in einem idealisierten Modell die sogenannte Kapazität einspuriger Straßen, das ist die Anzahl der Fahrzeuge, die bei genauer Einhaltung des Sicherheitsabstandes pro Zeiteinheit eine bestimmte Stelle passieren können. In diesem Modell wird vereinfachend angenommen, dass alle Fahrzeuge mit der gleichen Geschwindigkeit v fahren und außerdem die Parameter a (Bremsverzögerung), t (Reaktionszeit des Fahrers) und s (Fahrzeuglänge) für alle Fahrzeuge der Kolonne gleich sind. a)Bestimmen Sie die Grenzwerte von $K(v)$ für $v\rightarrow 0$ und $v\rightarrow \infty$ . (3 BE) [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] b) Zeigen Sie, dass $K(v)$ für $v=v_{max}=\sqrt{2as}$ maxmal wird. Berechnen sie $v_{max}$ in $\frac{km}{h}$ für $a=4,0\frac{m}{s^2}$ (Regennasse Fahrbahn)und $s=4,5m$ . (8 BE) [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] c)Begründen Sie am Term $K(v)$ , dass die Kapazität bei zunehmender Fahrzeuglänge s abnimmt, wenn v, a und t konstant bleiben. Begründen Sie ebenfalls am Term, dass die Kapazität zunimmt, wenn die Bremsverzögerung a zunimmt und v, t und s konstant bleiben. Erläutern Sie letztere Aussage im Anwendungszusammenhang. (4 BE) [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] d) Die drei Diagramme (I), (II) und (III) zeigen den Verlauf von Schargraphen der Funktion K. In jedem dieser Diagramme variiert genau einer der Parameter a, t und s, während die anderen beiden Parameter konstant bleiben. Geben Sie für jedes der drei Diagramme an, welcher der Parameter variiert. Begründen Sie Ihre Antwort, z. B. mit Hilfe der Ergebnisse der Teilaufgaben 2b und 2c. (5 BE) Diagramme: I II III [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]