2007 VI

Leistungskurs Mathematik (Bayern): Abiturprüfung 2007 Analytische Geometrie VI Lösungen erstellt von: Johanna Buchner, Isabell Geist und Ann Christin Werner Angabe

In einem kartesischen Koordinatensystem des IR3 ist die Ebenenschar Et : $\vec x = \begin{pmatrix} 0 \\ t \\ 0 \end{pmatrix} + \lambda\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix} + \tau\begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}$ mit λ, τ є IR und t є IR gegeben.

Aufgabe 1 a) Bestimmen Sie eine Gleichung von Et in Normalenform. Begründen Sie, dass alle Ebenen der Schar zueinander parallel sind. [mögliches Teilergebnis: Et : 2x1 + x2 - 2x3 - t = 0] [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] b) Berechnen Sie den Winkel φ, unter dem jede Ebene der Schar Et die x1x2-Ebene schneidet, auf eine Dezimale gerundet. [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] c) Die Ebene L enthält die x2-Achse und ist Lotebene zur Ebene Et. Ermitteln Sie eine Gleichung von L in Normalenform und geben Sie eine Gleichung der Schnittgeraden st von L und Et in Parameterform an. [mögliches Teilergebnis: L: x1 + x3 = 0] [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

Aufgabe 2 Die Ebene Et schneidet die x1-Achse im Punkt At, die x2-Achse im Punkt Bt und die x3-Achse im Punkt Ct. Diese Punkte und der Ursprung O sind für t ≠ 0 die Ecken einer Pyramide IIt. a) Berechnen Sie die Koordinaten der Punkte At, Bt und Ct und zeichnen Sie in einem Koordinatensystem für t = -8 die Pyramide II-8 ein. [Teilergebnis: At (0,5t|0|0); Bt (0|t|0); Ct (0|0|-0,5t)] [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] Andere Lösung Man hätte die Achsengeraden aufstellen können, mit dem Ursprung als Aufpunkt und dem jeweiligen Richtungsvektor und dann den jeweiligen allg. Geradenpunkt in die Ebene einsetzen können. b) Zeigen Sie, dass die Pyramide IIt den Oberflächeninhalt t2 besitzt, und ermitteln Sie das Volumen Vt von IIt in Abhängigkeit von t. [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] c) Die Ebene F : 2x2 = t liegt parallel zu einer Seitenfläche und zerlegt IIt in zwei Teilkörper. Berechnen Sie das Verhältnis der Volumina. [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] Hinweis Es gibt eine weitere Lösung, die den Strahlensatz verwendet (Verhältnis der beiden Höhen und der anderen Kanten ist 1:2) Bemerkung $A^\prime (\frac{t}{4}/\mathbf{\frac{t}{2}}/0)$ und $C^\prime (0/\mathbf{\frac{t}{2}}/-\frac{t}{4})$ d) Zeigen Sie, dass die Kugel K mit dem Mittelpunkt Nt ($\frac{t}{8}$ |$\frac{t}{8}$ |$\frac{-t}{8}$ ) und dem Radius ρt = $\frac{|t|}{8}$ die Inkugel der Pyramide IIt ist, also alle Begrenzungsflächen von IIt von innen berührt. [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] e) Die Ecken der Pyramide IIt liegen auf einer Kugel (Umkugel) mit dem Mittelpunkt M (m1|m2|m3) und dem Radius r. Begründen Sie ohne weitere Rechnung, dass gilt: m2 = $\frac{t}{2}$. Geben Sie m1 sowie m3 an und berechnen Sie r. [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]