2007 V

Leistungskurs Mathematik (Bayern): Abiturprüfung 2007 Analytische Geometrie V Lösung von Ruth Burkard, Julian Weinbeer und Veronika Weinbeer Angabe gesamte Lösung

Aufgabe 1 Gegeben ist in einem kartesischen Koordinatensystem des IR3 die Ebenenschar Ek : kx1 + k 2x2 + 2x3- k2 = 0 , mit k ∈ IR als Scharparameter. a) Ermitteln Sie, für welche Werte von k die Ebene Ek den Punkt P(1|2|-3)und zugleich den Punkt Q(0|1|0) enthält. [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] 4 BE b) Die beiden Ebenen E2 und E-3 schneiden sich in einer Geraden g. Ermitteln Sie eine Gleichung von g in Parameterform und den Schnittwinkel der beiden Ebenen auf eine Dezimale gerundet.     [mögliches Teilergebnis: g: $\vec x = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -3 \end{pmatrix} + \lambda \cdot\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -3 \end{pmatrix}$, λ ∈ IR ] Bestimmung der Gleichung in Parameterform 1. Lösungsweg: [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] 2. Lösungsweg: [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] 3. Lösungsweg: aus a) weiß man, dass P und Q auf allen Ebenen liegen; deshalb einen Punkt als Orstvektor nehmen und aus beiden Punkten den Richtungsvektor bestimmen (schnellster Lösungsweg) Berechnung des Schnittwinkels [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] 5 BE c) Mit e(k) werde der Betrag des Abstands der Ebene Ek vom Koordinatenursprung bezeichnet. Zeigen Sie, dass                                 e(k)=$\frac{k^2}{\sqrt{k^2+k^4+2}}$ und dass e(k)<1 ist. [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] 4 BE d) Es gibt zwei Scharebenen, deren Schnittwinkel mit der x3-Achse 30° besteht. Ermitteln Sie die zugehörigen Werte von k. [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] 5 BE e) Untersuchen Sie, ob die Gerade g aus Teilaufgabe 1b senkrecht auf einer Ebene der Schar Ek steht. [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] 3 BE Aufgabe 2: Nun ist weiter die Kugel K mit dem Mittelpunkt M(1|2|3) und dem Radius r= 6 gegeben. Die Scharebene E-1 schneidet die Kugel K in einem Kreis ks mit dem Mittelpunkt N und dem Radius rs. a) Berechnen Sie die Koordinaten N und den Radius rs [Ergebnis: N(2|1|1); rs =${\sqrt{30}}$] [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] 6 BE b) Zeigen Sie, dass der Punkt R(3|6|-1) auf dem Schnittkreis ks liegt, und stellen Sie eine Gleichung der Tangentialebene T auf, die die Kugel K im Punkt R berührt. [mögliches Teilergebnis: T:x1+2x2-2x3-17=0] [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] 4 BE c) Die Ebene E-1 und die Tangentialebene an die Kugel K in allen Punkten des Schnittkreises ks begrenzen einen geraden Kreiskegel. Berechnen Sie das Volumen dieses Kegels. [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] 5 BE d) Zeigen Sie, dass der Punkt U(3|-2|-1) auf der Kugel K und innerhalb des Kreiskegels liegt. [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] 4 BE