- Aufgabe 1
Gegeben ist in einem kartesischen Koordinatensystem des IR3 die Ebenenschar Ek : kx1 + k 2x2 + 2x3- k2 = 0 , mit k ∈ IR als Scharparameter.
a) Ermitteln Sie, für welche Werte von k die Ebene Ek den Punkt P(1|2|-3)und zugleich den Punkt Q(0|1|0) enthält.
- [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]
4 BE
b) Die beiden Ebenen E2 und E-3 schneiden sich in einer Geraden g. Ermitteln Sie eine Gleichung von g in Parameterform und
- den Schnittwinkel der beiden Ebenen auf eine Dezimale gerundet.
[mögliches Teilergebnis: g:
, λ ∈ IR ]
- Bestimmung der Gleichung in Parameterform
-
- 1. Lösungsweg:
- [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]
- 2. Lösungsweg:
- [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]
- 3. Lösungsweg: aus a) weiß man, dass P und Q auf allen Ebenen liegen; deshalb einen Punkt als Orstvektor nehmen und aus beiden Punkten den Richtungsvektor bestimmen (schnellster Lösungsweg)
- Berechnung des Schnittwinkels
-
- [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]
5 BE
c) Mit e(k) werde der Betrag des Abstands der Ebene Ek vom Koordinatenursprung bezeichnet. Zeigen Sie, dass e(k)=
und dass e(k)<1 ist.
- [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]
4 BE
d) Es gibt zwei Scharebenen, deren Schnittwinkel mit der x3-Achse 30° besteht. Ermitteln Sie die zugehörigen Werte von k.
- [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]
5 BE
e) Untersuchen Sie, ob die Gerade g aus Teilaufgabe 1b senkrecht auf einer Ebene der Schar Ek steht.
- [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]
3 BE
Aufgabe 2:
Nun ist weiter die Kugel K mit dem Mittelpunkt M(1|2|3) und dem Radius r= 6 gegeben. Die Scharebene E-1 schneidet die Kugel K in einem Kreis ks mit dem Mittelpunkt N und dem Radius rs.
a) Berechnen Sie die Koordinaten N und den Radius rs
- [Ergebnis: N(2|1|1); rs =
]
- [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]
6 BE
b) Zeigen Sie, dass der Punkt R(3|6|-1) auf dem Schnittkreis ks liegt, und stellen Sie eine Gleichung der Tangentialebene T
- auf, die die Kugel K im Punkt R berührt.
- [mögliches Teilergebnis: T:x1+2x2-2x3-17=0]
- [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]
4 BE
c) Die Ebene E-1 und die Tangentialebene an die Kugel K in allen Punkten des Schnittkreises ks begrenzen einen geraden
- Kreiskegel. Berechnen Sie das Volumen dieses Kegels.
- [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]
5 BE
d) Zeigen Sie, dass der Punkt U(3|-2|-1) auf der Kugel K und innerhalb des Kreiskegels liegt.
- [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]
4 BE