2007 IV

Leistungskurs Mathematik (Bayern): Abiturprüfung 2007 Wahrscheinlichkeitsrechnung/Statistik IV Download der Originalaufgaben: Abitur 2007 LK Mathematik Bayern - Lösungen zum Ausdrucken Lösungen erstellt von: Luka Hornung und Jan-Peter Neutert

Aufgabe 1 Im Raum, in dem die Abiturprüfungen für die Leistungskurse eines Gymnasiums abgehalten werden, befinden sich 20 Plätze, die in 5 Reihen zu je 4 Plätzen angeordnet sind. In jeder Reihe ist ein Fensterplatz. a) Zeigen Sie, dass es ca. 800 Millionen Möglichkeiten gibt, die 9 Teilnehmer des Physik-Leistungskurses auf die 20 Plätze zu verteilen, wenn 2 der 5 Reihen frei bleiben sollen. [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] 2. Lösung anzeigen 2. Lösung verstecken 2 der 5 Reihen bleiben frei: Ziehen ohne Reihenfolge, ohne Zurücklegen: ${5 \choose 2}$ 9 Teilnehmer auf 12 restliche Plätze verteilen: mit Reihenfolge, ohne Zurücklegen: $\frac {12!}{(12-9)!}$ $\Rightarrow {5 \choose 2} \cdot \frac{12!}{3!}$ b) Wie viele Möglichkeiten gibt es, die 12 Teilnehmer des Mathematik-Leistungskurses auf die 20 Plätze zu verteilen, wenn die 5 Fensterplätze besetzt sein sollen? [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

Aufgabe 2 Nach dem schriftlichen Abitur trifft sich der Mathematik-Leistungskurs in der Eisdiele „La dolce vita“. Der Pächter Roberto ist gerade ungehalten, weil er in einem Karton 4 zerbrochene Eiswaffeln entdeckt hat. Roberto bekommt seine Eiswaffeln in Kartons zu je 48 Stück. Er berichtet, dass er schon von der letzten Lieferung aus 50 Kartons insgesamt 72 Waffeln wegwerfen musste, weil sie zerbrochen waren. Die Kollegiaten geraten ins Fachsimpeln. Im Folgenden wird angenommen, dass im Mittel der Anteil an zerbrochenen Waffeln genau dem aus der letzten Lieferung von 2400 Waffeln entspricht und dass die zerbrochenen Waffeln zufällig verteilt sind. a) Wie groß ist dann die Wahrscheinlichkeit dafür, dass in einem Karton genau 4 Waffeln zerbrochen sind? [ Ergebnis: 4,13 % ] [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] b) Wie viele Kartons muss man mindestens öffnen, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als 90 % wenigstens in einem Karton genau 4 zerbrochene Waffeln vorzufinden? [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] Verbesserung der blauen Anmerkung (s. unten): man verwendet 0,04130, da nicht genau 4 Waffeln zerbrochen sein sollen (nicht da keine zerbrochen sein sollen) q = 0,9587 schließt neben dem Fall, dass alle okay sind auch diejenigen Fälle ein, dass nicht genau 4 Waffeln zerbrochen sind (z.B. 1, 2, 3, 5, ...) c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Anzahl der zerbrochenen Waffeln in einer Lieferung von 50 Kartons um höchstens 12 vom Erwartungswert abweicht? Schätzen Sie diese Wahrscheinlichkeit mit der Ungleichung von Tschebyschow ab. [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] Die Kollegiaten bieten Roberto an, die Vermutung zu testen, dass der Anteil an zerbrochenen Waffeln angestiegen ist. Dazu sollen 8 Kartons aus der neuen Lieferung zufällig ausgewählt und untersucht werden. d) Bestimmen Sie mit Hilfe der Normalverteilung auf dem Signifikanzniveau von 5 % die Entscheidungsregel für den Test der Nullhypothese H0: $p \le 3$, dass also der Anteil p der zerbrochenen Waffeln gegenüber der letzten Lieferung nicht gestiegen ist. [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

Aufgabe 3 Nach der Durchführung des Tests spendiert Roberto jedem der 12 Kollegiaten eine Riesenkugel Eis, wobei jeder zwischen den Geschmacksrichtungen Erdbeere, Vanille und Schokolade wählen kann. a)Roberto notiert nur, wie oft jede Sorte gewünscht wird. Wie viele Möglichkeiten gibt es dafür? Tipp anzeigen Tipp verstecken Es handelt sich um den 3. Fall: Reihenfolge wird nicht berücksichtigt, jedoch mit Wiederholung (d.h. die 3 Eissorten müssen ja mehrmals gewünscht werden): ${n+k-1 \choose k}$ [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] b) Die Kollegiaten wählen achtmal Schokolade und je zweimal Erdbeere und Vanille. Roberto hat sich nicht gemerkt, wer welche Sorte bestellt hat, und gibt jedem rein zufällig eine Eiswaffel mit einer Riesenkugel in die Hand. Mit welcher Wahrscheinlichkeit bekommt jeder das gewünschte Eis, ohne dass anschließend getauscht werden muss? [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] Bemerkung anzeigen Bemerkung verstecken zur einfacheren Lösung: Mississippi: $\Omega = \frac{12!}{8! \cdot 2! \cdot 2!} = 2970$ jeder das gewünschte Eis: 1 Möglichkeit relative WS: $\frac{1}{2970} \approx 0,03%.$

Aufgabe 4 Roberto hat sich ein Rabattsystem für seine Stammkunden ausgedacht, bei dem die Höhe des Rabatts durch gleichzeitiges Werfen von zwei gleichen Laplace-Würfeln bestimmt wird, von denen jeder 4 gelbe und 2 rote Seitenflächen hat. Von den gelben Flächen tragen jeweils drei die Aufschrift 10% und eine 15%. Die beiden roten Flächen sind jeweils mit 15% und mit 50% beschriftet. Man bekommt genau dann einen Rabatt, wenn beide Würfel die gleiche Farbe zeigen. Die Höhe des Rabatts ist das Maximum der beiden geworfenen Prozentzahlen. a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Stammkunde nach dem Werfen der beiden Würfel einen Rabatt bekommt? [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] b) Wie viel Prozent Rabatt räumt Roberto seinen Stammkunden nach diesem Verfahren im Mittel ein? [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]