2007 III

Leistungskurs Mathematik (Bayern): Abiturprüfung 2007 Wahrscheinlichkeitsrechnung/Statistik III Download der Originalaufgaben: Abitur 2007 LK Mathematik Bayern - Lösungen zum Ausdrucken Lösungen erstellt von: Emanuel Eirich, Ludwig Deufert und Simon Markfelder

Aufgabe 1 In einer Gemeinschaftspraxis von Augenärzten ergab eine mehrjährige Auswertung der Patientenkartei, dass im Durchschnitt jeder 15. Patient an Grauem Star leidet. a) Im Laufe eines Vormittags rufen unabhängig voneinander 15 Personen an und bitten um einen Termin. Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat genau eine dieser Personen Grauen Star? [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] b) Wie viele Personen müssen unabhängig voneinander um einen Termin bitten, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als 90% mindestens einer darunter ist, der an Grauem Star leidet? [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

Aufgabe 2 Der Pharmakonzern Medicash forscht nach einem neuen Medikament. Es stehen 6 verschiedene Wirkstoffe zur Auswahl. Im Labor werden Testsubstanzen aus mindestens zwei Wirkstoffen gemischt, wobei von jedem beteiligten Wirkstoff jeweils genau ein Milligramm enthalten sein soll. Wie viele verschiedene Wirkstoffkombinationen sind möglich? [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

Aufgabe 3 Ein Labor entwickelt einen neuen Impfstoff und testet ihn in einem Tierversuch mit 900 Mäusen. Mit dem Impfstoff werden nur dann klinische Studien durchgeführt, wenn sich dabei in weniger als 2% der Fälle unerwünschte Nebenwirkungen zeigen. Bestimmen Sie für die Nullhypothese die Entscheidungsregel für den Test mit 900 Mäusen auf dem Signifikanzniveau von 1%. Verwenden Sie die Normalverteilung als Näherung. [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

Aufgabe 4 Ein Anteil von Patienten leidet an der Infektion durch den M-Virus. Der Nachweis dieser Krankheit durch einen Bluttest ist nicht zuverlässig. Falls jemand vom M-Virus befallen ist, dann diagnostiziert der Bluttest dies nur mit einer Wahrscheinlichkeit von 90%. Falls jemand nicht infiziert ist, dann diagnostiziert der Bluttest in 5% aller Fälle trotzdem eine M-Virusinfektion. Zeigen Sie, dass die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person tatsächlich infiziert ist, falls der Bluttest dies diagnostiziert, $\frac{90p}{85p + 5}$ beträgt. Für welche Werte von p ist diese Wahrscheinlichkeit größer als 90%? [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

Aufgabe 5 In einer Spezialklinik hält sich jeder Patient (unabhängig von anderen Patienten) mindestens 3 Tage, höchstens aber 5 Tage auf. Die Verwaltung legt für die Aufenthaltsdauer X eines Patienten in Tagen folgende Wahrscheinlichkeitsverteilung zugrunde: k 3 4 5 P(X=k) 60% 10% 30% Jeder Patient zahlt für die Aufnahme 110€ Verwaltungsgebühr und 450€ pro Aufenthaltstag. a) Bestimmen Sie den Erwartungswert und die Standardabweichung der Zufallsgröße Y: Einnahmen pro Patient (in €). [Ergebnis: $E(Y) = 1775 ; \sigma = 405$ ] [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] b) Die Klinik benötigt jährlich mindestens 4,4 Millionen Euro Einnahmen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird bei einer jährlichen Belegung von 2500 Patienten mindestens dieser Betrag erreicht? Nach dem zentralen Grenzwertsatz kann die Normalverteilung zugrunde gelegt werden. [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

Aufgabe 6 Bei einer Bernoulli-Kette der Länge $n > 1$ und der Trefferwahrscheinlichkeit p ist die Wahrscheinlichkeit für genau 2 Treffer maximal, wenn $\mu = p * n = 2$ gilt (Nachweis nicht erforderlich). a) Zeigen Sie, dass für diese maximale Wahrscheinlichkeit in Abhängigkeit von n gilt: $P(n) = (2 - \frac{2}{n} ) * (1 - \frac{2}{n} )^{n-2})$ [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] b) Gegen welchen Grenzwert strebt $P (n)$ für $n \rightarrow \infty$  ? (Hinweis: Der Grenzwert $\lim_{v\to\infty} (1+\frac{k}{v})^v = e^k$ für $k \in R$ darf ohne Nachweis benutzt werden.) [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]