2005 VI

Leistungskurs Mathematik (Bayern): Abiturprüfung 2005 Analytische Geometrie VI Download der Originalaufgaben: Abitur 2005 LK Mathematik Bayern - Lösung gesamt Erarbeitet von Tanja Kraus

In einem kartesischen Koordinatensystem ist die Geradenschar ga : $\vec x = \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + \lambda \cdot\begin{pmatrix} a \\ 1 \\ a+2 \end{pmatrix}$ mit a, $\lambda$ $\in$ $\mathbb{R}$- gegeben. Die Punkte A(10/0/0), B(0/5/0) und C(0/0/5) bestimmen eine Ebene, die mit E bezeichnet wird.

Aufgabe 1 a) Ermitteln Sie eine Gleichung der Ebene E in Normalenform. [mögliches Ergebnis E: x1 + 2x2 + 2x3 - 10 = 0] 3 BE [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] Bemerkung Eine andere Möglichkeit wäre, mit Hilfe des Vektorprodukts den Normalenvektor der Ebene aufzustellen. [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] b) Berechnen Sie den Schnittwinkel zwischen der Geraden g-1 und der Ebene E. 3 BE [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] . c) Zeigen Sie, dass die Gerade g-2 in der Ebene E liegt und echt parallel zur Geraden AB ist. 4 BE [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] . Bemerkung Dass die beiden Richtungsvektoren linear abhängig sind, hat zur Folge, dass die die beiden Geraden echt parallel oder identisch sind. Man muss erst noch beweisen, dass sie nicht identisch sind, indem man beispielsweise überprüft, ob der Punkt A auf der Geraden g liegt. Das ist nicht der Fall. Daraus folgt, dass die beiden Geraden echt parallel sind.

Aufgabe 2 a) Der Punkt C wird an der Geraden AB gespiegelt. Ermitteln Sie die Koordinaten des Spiegelpunkts C*. [Ergebnis: C* = (4/8/-5)] 5 BE [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] . b) Weisen Sie nach, dass das Drachenviereck AC*BC den Flächeninhalt 75 hat. 4 BE [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] . c) Die Gerade g-2 schneidet die Strecke [AC] im Punkt A' (8/0/1)und zerlegt das Dreieck ABC in zwei Teile (Nachweis nicht erforderlich). Berechnen Sie das Verhältnis der Flächeninhalte dieser beiden Teile. 6 BE [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] .

Aufgabe 3 In der Ebene H: x3 = 3 liegen zwei parallele Schienen s1 und s2.Die Schiene s1 wird durch die Gerade s1 : $\vec x = \begin{pmatrix} 7 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} + \tau\cdot\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}$ mit $\tau$ $\in$ $\mathbb{R}$- a) Berechnen Sie die Koordinaten des Punkts S, in dem die Kugel die Schiene s1 berührt. [Ergebnis: S = (20/27/3)] 6 BE [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] . b) Bestimmen Sie eine Gleichung der Schiene s2. 5 BE [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] . Bemerkung Die Projektion von M in die x3-Ebene heißt, dass die x1- und x2-Werte erhalten bleiben und der x3-Wert in diesem Fall 3 ist. c) Die Kugel wird nun angestoßen und rollt auf die Ebene E zu. Geben Sie eine Gleichung der Geraden m an, auf der sich dabei der Mittelpunkt der Kugel bewegt. Begründen Sie, weshalb der Punkt, in dem die Kugel schließlich die Ebene E berührt, nicht mit dem Schnittpunkt von m und E zusammenfällt. 4 BE [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] . Bemerkung Der Normalenvektor der Ebene und der Richtungsvektor von m sind nicht linear abhängig. Daraus folgt, dass m nicht senkrecht auf der Ebene steht. Der Berührpunkt einer Kugel mit eine Ebene liegt aber immer auf einer senkrechten Geraden zur Ebene durch den Mittelpunkt der Kugel. Somit ist der Berührpunkt nicht der Schnittpunkt der Geraden m mit der Ebene.