2004 VI

Leistungskurs Mathematik (Bayern): Abiturprüfung 2004 Analytische Geometrie VI Download der Originalaufgaben: Abitur 2004 LK Mathematik Bayern - Lösung gesamt Erarbeitet von Luka Hornung, Jan-Peter Neutert

In einem kartesischen Koordinatensystem des R3 sind die Punkte $O \left( 0 / 0 / 0 \right)$, $A \left( 10 / 0 / 0 \right)$, $B \left( 0 / 4 / 0 \right)$, $S \left( 0 / 0 / 6 \right)$ sowie die Ebenenschar Et: 3x2 + tx3 - 3t = 0 mit t $\in$ R gegeben. Die Punkte A, B und S legen die Ebene F fest.

Aufgabe 1 a) Bestimmen Sie eine Gleichung der Ebene F in Normalenform. 3 BE [mögliches Ergebnis: 6x1 + 15x2 + 10x3 - 60 = 0] [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] b) Berechnen Sie, unter welchem Winkel die Ebene F die x1x2 - Ebene schneidet. 3 BE [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] c) Zeigen Sie, dass die Ebene E2 parallel zur Geraden BS ist. 3 BE [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] d) Zeigen Sie, dass die zu AO parallele Mittelparallele des Dreiecks AOS identisch ist mit der Geraden p, die alle Ebenen der Schar Et gemeinsam haben. 5 BE [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

Aufgabe 2 Die Punkte A, B, O und S bilden die Ecken der Pyramide ABOS. a) Legen Sie ein Koordinatensystem an. Zeichnen Sie die Pyramide ABOS, die Gerade p und die Schnittfläche der Ebene E2 mit der Pyramide ein. 5 BE [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] b) Berechnen Sie das Volumen der Pyramide ABOS. 3 BE [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] c) Zeigen Sie, dass die Ebene E2 die Pyramide ABOS in zwei Teilkörper mit gleichem Volumen zerlegt. 6 BE (Hinweis: Zerlegen Sie einen der beiden Teilkörper in ein dreiseitiges Prisma und eine dreiseitige Pyramide.) [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

Aufgabe 3 a) Zeigen Sie, dass $M \left( 1,2 / 1,2 / 1,2 \right)$ der Mittelpunkt der Inkugel K der Pyramide ABOS ist. 5 BE [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] b) Die Ebenenschar Et enthält neben der x1x3 - Ebene eine weitere Tangentialebene von K. Berechnen Sie den zugehörigen Wert von t. 7 BE [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]