2004 IV

Leistungskurs Mathematik (Bayern): Abiturprüfung 2004 Wahrscheinlichkeitsrechnung/Statistik IV Download der Originalaufgaben: Abitur 2004 LK Mathematik Bayern Lösungen erstellt von: Mark-André Baumer, Jan Kapar

Auf dem Gebiet der Gemeinde Windstätt soll ein Windpark zur Stromerzeugung errichtet werden. Die Gegner des Projekts befürchten eine Beeinträchtigung des Fremdenverkehrs und sammeln Unterschriften für ein Bürgerbegehren. Das Windstätter Tagblatt veranstaltet eine Podiumsdiskussion zum Thema Windpark. Aufgabe 1 An der Podiumsdiskussion nehmen neben dem Chefredakteur 5 Gegner und 4 Befürworter des Projekts teil. Die 10 Plätze auf dem Podium sind in einer Reihe nebeneinander angeordnet. Der Chefredakteur setzt sich auf den 5. Platz von links. Die beiden Gruppen haben jeweils einen Sprecher. a) Wie viele verschiedene Sitzordnungen gibt es, bei denen die beiden Sprecher höchstens 2 Plätze vom Chefredakteur entfernt sitzen und sich die übrigen Teilnehmer beliebig auf die restlichen Plätze verteilen? 3BE [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] 2. Lösung anzeigen 2. Lösung verstecken zwei Sprecher auf vier Plätze verteilen, wobei die zwei Sprecher untereinander tauschen können: ${4 \choose 2} \cdot 2!$ übrige sieben Teilnehmer auf restliche sieben Plätze verteilen: 7! (mit Reihenfolge, ohne Zurücklegen, Sonderfall: n=k) $\Rightarrow {4 \choose 2} \cdot 2! \cdot 7! = \underline {60.480}$ b) Bei wie vielen Sitzordnungen, die die Bedingung aus Teilaufgabe 1 a erfüllen, nehmen die Gruppen geschlossen links bzw. rechts vom Chefredakteur Platz? 3BE [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] 2. Lösung anzeigen 2. Lösung verstecken ein Sprecher auf zwei Plätze verteilen: ${2 \choose 1}$ gilt für zwei Sprecher: $\cdot 2$ übrige drei Befürworter auf drei Plätze links vom Chefredakteur verteilen: 3! übrige vier Gegner auf vier Plätze rechts vom Chefredakteur verteilen: 4! (beides mit Reihenfolge, ohne Zurücklegen, Sonderfall: n=k) $\Rightarrow {2 \choose 1} \cdot 2 \cdot 3! \cdot 4! = \underline {576}$ c) Zu Beginn der Diskussion werden die Teilnehmer vom Chefredakteur um eine kurze Stellungnahme gebeten. Die Reihenfolge der Redner wird ausgelost. Mit welcher Wahrscheinlichkeit befinden sich unter den ersten 6 Rednern genau zwei Gegner des Projekts? 4BE [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

Aufgabe 2 Im Verlauf der Podiumsdiskussion, zu der 178 Windstätter Bürger erschienen sind, behauptet der Sprecher der Windparkgegner, dass wenigstens 55% der mehr als 10 000 wahlberechtigten Gemeindemitglieder gegen das geplante Projekt sind. a) Die Behauptung des Sprechers (Nullhypothese) soll auf dem Signifikantsniveau von 5% getestet werden. Bestimmen Sie mithilfe der Normalverteilung die zugehörige Entscheidungsregel bei einer Befragung von 178 Bürgern. 6BE [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] b) Um eine Entscheidung im Sinne des Tests aus Teilaufgabe 2 a zu treffen, sollen die bei der Podiumsdiskussion anwesenden 178 wahlberechtigten Gemeindemitglieder befragt werden. Nehmen Sie zu diesem Vorschlag Stellung. 2BE [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

Aufgabe 3 Um den Ausgang des beantragten Bürgerentscheids zu prognostizieren, führte das Windstätter Tagblatt eine Umfrage unter 1200 wahlberechtigten Bürgern durch. Dabei sprachen sich 504 gegen das Projekt aus, während die übrigen 696 für die Errichtung des Windparks waren. a) Bestimmen Sie mithilfe der Ungleichung von Tschebyschow ein möglichst kleines Intervall, in dem der Anteil p der Windparkgegner unter allen Gemeindemitgliedern mit einer Wahrscheinlichkeit von wenigstens 75% liegt. Verwenden Sie p(p-1)<= 1/4. 5BE [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] b) Beim schließlich durchgeführten Bürgerentscheid lag die Wahlbeiteiligung bei 35%. Es stimmten 51% gegen das Windparkprojekt; ungültige Stimmen gab es nicht. Wenn man davon ausgeht, dass die Umfrage die Mehrheitsverhältnisse in Windstätt exakt wiedergibt, kann dieses Ergebnis durch einen unterschiedlichen Mobilisierungsgrad der Gegner und Befürworter erklärt werden. Welcher Prozentsatz der Gegner und welcher Prozentsatz der Befürworter ist demnach zur Abstimmung gegangen? 6BE [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] 2. Lösung

Aufgabe 4 Ein großes Windparkunternehmen will sich durch Ausgabe von Aktien Kapital an der Börse verschaffen. Die Nachfrage ist erheblich; es werden wesentlich mehr Aktien geordert, als ausgegeben werden sollen. Daher erfolgt die Zuteilung im Losverfahren unter den Anlegern, die mindestens 200 Aktien geordert haben. Es werden nur Aktienpakete zu 50, 100 oder 200 Stück verlost. Die Zufallsgröße X, die die Anzahl der einem dieser Anleger zugeteilten Aktien beschreibt, hat die folgende Verteilung: a) Berechnen Sie Erwartungswert und Standartabweichung von X. 4BE [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] b) Es nehmen 100 Windstätter Bürger am Losverfahren teil. Nach dem zentralen Grenzwertsatz ist die voraussichtliche Gesamtzahl der ihnen dabei zugeilten Aktien näherungsweise normalverteilt. Berechnen Sie unter Annahme der Normalverteilung die Wahrscheinlichkeit, dass diese Gesamtzahl höchstens 10% vom Erwartungswert abweicht. 7BE [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]