2003 II

Leistungskurs Mathematik (Bayern): Abiturprüfung 2006 Infinitesimalrechnung II Download der Originalaufgaben: Abitur 2003 LK Mathematik Bayern - Lösung gesamt Erarbeitet von Straßheimer Florian, Etzel Andre

Aufgabe 1 Gegeben ist die Schar der in IR definierten Funktionen $f_k(x)=\frac{1}{2}\cdot(k-x)\cdot \sqrt{e^{x}}$ mit $k \in \mathbb R$ . Der jeweilige Graph von $f_k\,$ wird mit $G_k\,$ bezeichnet. a) Geben Sie $f_k(0)\,$ sowie die Nullstelle von $f_k\,$ an. Untersuchen Sie das Verhalten von $f_k\,$ für $x\rightarrow -\infty$ und für $x\rightarrow +\infty$ [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] b) Zeigen Sie, dass $f^{'}_k(x)= \frac{1}{2}f_{k-2}(x)$ gilt, und ermitteln Sie hiermit Funktionsterme der Ableitungen $f^{''}_k\,$ und $f^{'''}_k\,$ sowie einer Stammfunktion von $f_k\,$ . [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] c) Zeigen Sie, dass $G_k\,$ genau einen Hochpunkt und genau einen Wendepunkt besitzt, und bestimmen Sie die Koordinaten dieser Punkte. [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] d) Zeichnen Sie unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse $G_4\,$ und $G_6\,$ in ein gemeinsames Koordinatensystem ein. [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] e) $G_4\,$ schließt im zweiten Quadranten mit den Koordinatenachsen ein sich ins Unendliche erstreckendes Flächenstück ein. Begründen Sie, dass dieses einen endlichen Inhalt hat. [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] f) Geben Sie an, welche Bedeutung die Funktion $2 \cdot f_6\,$ für die Funktion $f_4\,$ hat. Bestimmen Sie mit Hilfe von $G_6\,$ aus Ihrer Zeichnung die positive Zahl z (auf eine Dezimale genau), für die $\int_{0}^{z} f_4 (x)\,dx =0$ ist. Tragen Sie dazu entsprechende Hilfslinien in die Zeichnung ein und erläutern Sie Ihr Vorgehen. Überprüfen Sie Ihre graphisch gewonnene Näherungslösung, indem Sie z mit Hilfe des Taschenrechners auf eine Dezimale genau ermitteln. [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

Aufgabe 2 Das abgebildete Zelt - geometrisch betrachtet ein gerades Prisma - hat einen rechteckigen Grundriss mit den Seitenlängen $\frac{3}{2}a$ und $b\,$ . Die Front besteht aus einem Rechteck mit den Seitenlängen $\frac{3}{2}a$ und $a\,$ sowie einem aufgesetzten gleichschenkligen Dreieck der Höhe $a\,$. a) Zeigen Sie, dass für den Rauminhalt V des Zelts und für den Flächeninhalt S der benötigten Zeltplane (ohne Boden und Laschen, das Zelt ist vollständig geschlossen) gilt: $V=\frac{9}{4}a^{2}b$ $S=\frac{9}{2}a^{2}+ \frac{9}{2}ab$. [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] b) Bestimmen Sie a und b so, dass $V = 121,5 m^{3}\,$ ist und dass der Materialverbrauch an Zeltplane möglichst gering ist. Wie viele $m^{2}\,$ Zeltplane werden in diesem Fall benötigt? [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]