Lösung zur Teilaufgabe b)

1. Eigenschaften einer Stammfunktion von f_a

1.) Von $-\infty < x < a$ verläuft der Graph G_fa unterhalb der x-Achse und ist somit negative. Daraus kann man schließen, das der Graph G_Fa in diesem Intervall streng monoton fallend ist.
Von $a < x < \infty$ verläuft der Graph G_fa oberhalb der x-Achse und ist somit positive. Daraus kann man schließen, dass der Graph G_Fa in diesem Intervall streng monoton steigend ist.

2.) Bei $x = a$ ist der Graph G_fa gleich Null ( G_fa = 0 )und das Steiguungsverhalten von G_Fa ändert für $x < a$ und $x > a$ das Vorzeichen. Deshalb kann man sagen, dass der Graph G_Fa an der Stell $x = a$ einen Extrempunkt, in diesem Fall einen Tiefpunkt ( Minimum ) hat, da sich das Monotonieverhalten von streng monoton fallend in streng monoton steigend verändert.

2. Bestimmung einer Stammfunktion von f_a durch partielle Integration

Hilfe zur partiellen Integration

$\int_{a}^{b} f_a ( x )\,dx = ( x - a ) e^{a + 2 - x}$

Definiere:

$u ( x ) = x - a$
$u ^{'} ( x ) = 1$

$v ( x ) = e^{a + 2 - x}$
$v ^{'} ( x ) = -e^{a + 2 - x}$

$\int_{a}^{b} f_a ( x )\,dx  = ( x - a ) e^{a + 2 - x}$ 

                  $=[( x - a )\cdot (-e^{a + 2 - x}) ]^{b}_{a} - \int_{a}^{b} 1 \cdot (-e^{a + 2 - x})\,dx$
                  $=[( x - a )\cdot (-e^{a + 2 - x}) - e^{a + 2 - x}]^{b}_{a}$
                  $=[-e^{a + 2 - x} ( x - a + 1 )]^{b}_{a}$

                 $\Rightarrow  F_a( x ) = -e^{a + 2 - x} ( x - a + 1 ) + c$

für Interessierte: Der Holzweg

3. Flächenberechnung, der sich nach rechts ins Unendliche erstreckenden Fläche, zwischen der x- Achse und der Funktion f₂ im I. Quadranten

Hinweis: $\lim_{x\to\infty}x\cdot e^{-x} = 0$

Da die Nullstelle der Funktion f_a bei x = a liegt, folgt daraus, dass die Nullstelle der Funktion f₂ bei x = 2 liegt. Das heißt, man muss von zwei bis unendlich integrieren.

$\int_{2}^{b} f_a( x ) = [-e^{2 + 2 - x} ( x - 2 + 1 )]^{b}_{2}$

             $= [-e^{4 - x} ( x - 1 )]^{b}_{2}$

             $= \lim_{b\to\infty} [-e^{4 - b} ( b - 1 )] - [-e^{4 - 2} ( 2 - 1 )]$

             $= \lim_{b\to\infty} [-e^{4 - b} ( b - 1 )] - [-e^{2} ( 1 )]$
             
                                             $| \lim_{b\to\infty} [-e^{4 - b} ( b - 1 )] \rightarrow 0| siehe Hinweis$

             $= 0 - [-e^{2}\cdot ( 1 )] 
 
               =  [e^{2}]$

Der Flaecheninhalt, der sich nach rechts ins Unendliche erstreckt, betraegt e2.