Funktionsuntersuchungen

Funktionsuntersuchungen Dieses Kapitel dient zur Wiederholung der Eigenschaften der einzelnen Funktionstypen. Du solltest dir während des Bearbeitens Notizen zu den einzelnen Funktionstypen machen, sodass am Ende ein Übersichtsblatt mit den charakteristischen Merkmalen der Funktionen entsteht. Lineare Funktionen Gegeben ist die Funktion f(x)=3x+1. Bestimme zu dieser Funktion den Definitionsbereich, die Wertemenge, die Steigung m und die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen. Plotte den Graphen der Funktion mit GeoGebra. Lösung anzeigen Lösung verstecken D=$\mathbb{R}$ W=$\mathbb{R}$ Steigung: m=3 Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen: y-Achse: f(0)=3$\cdot$0+1=1 $\rightarrow$ P(0/1) x-Achse: f(x)=0 3x+1=0 $x=- \frac{1} {3}$ $\rightarrow$ $S \left(- \frac {1} {3}/0 \right)$ Quadratische Funktionen Gegeben ist die Funktion g(x)=x2+3x-2. Bestimme zu dieser Funktion Definitions- und Wertemenge, die Nullstellen und den Scheitel. Beschreibe den Verlauf des Graphen und plotte die Funktion mit GeoGebra. Vergleiche anschließend die rechnerischen Ergebnisse mit der Zeichnung. Lösung anzeigen Lösung verstecken D=$\mathbb{R}$ W=[-4;∞[ Nullstellen: Lösungsformel $x_{1,2} = \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ $x_{1,2} = \frac{-3\pm\sqrt{3^2+8}}{2}$ $x_{1,2} = \frac{-3\pm\sqrt{17}}{2}$ x1=0,56 $\rightarrow$ P1(0,56/0) x2=-3,56 $\rightarrow$ P2(-3,56/0) Graph: nach oben geöffnete Parabel Scheitel: Die x-Koordinate des Scheitels befindet sich mittig zwischen den beiden Nullstellen $\rightarrow$ x=-1,5 f(-1,5)=-4,25 $\rightarrow$ S(-1,5;-4,25) Oder: Quadratische Ergänzung: g(x)=x²+3x-2 g(x)=x²+3x+1,5²-1,5²-2 g(x)=(x2+3x+1,52 )-4,25 g(x)=(x+1,5)2-4,25 $\rightarrow$ S(-1,5/-4,25) Ganzrationale Funktionen Gegeben ist die Funktion h(x)=2x7-2x6+4x4-4x3. Bestimme zu dieser Funktion Definitionsbereich, Wertemenge und die Nullstellen. Untersuche die Funktion außerdem auf ihr Verhalten im Unendlichen. Kontrolliere deine Ergebnisse wieder mit GeoGebra. Lösung anzeigen Lösung verstecken D=$\mathbb{R}$ W=$\mathbb{R}$ Nullstellen: h(x)=2x7-2x6+4x4-4x3 h(x)=2x3 (x4-x3+2x-2) $\rightarrow$ x1=0 (dreifache Nullstelle) Ausprobieren: x2=1 Polynomdivision: (x4-x3+2x-2)÷(x-1)=x3+2 x3=-$\sqrt [3] 2$ $\rightarrow$ h(x)=2x3 (x-1)(x3+2) → P1 (0/0)  ; P2 (1/0)  ; $P_3 (-\sqrt [3] 2/0)$ Verhalten im Unendlichen: $\lim_{x\to\infty} h(x)=\lim_{x\to\infty} 2x^7(1- \frac {1} {x}+ \frac {2} {x^3}- \frac {2} {x^4})=\infty$ $\lim_{x\to-\infty} h(x)=\lim_{x\to-\infty} 2x^7(1- \frac {1} {x}+ \frac {2} {x^3}- \frac {2} {x^4})=-\infty$ Gebrochen rationale Funktionen Bestimme zu der Funktion j(x)= ${5x+3 \over 3x-1}$ die Asymptoten. Folgere daraus die Definitions- und Wertemenge. Berechne außerdem die Nullstelle der Funktion. Lösung anzeigen Lösung verstecken Asymptoten: $\lim_{x\to \pm\infty}$${5x+3 \over 3x-1}$=$\lim_{x\to \pm\infty}$${x(5+\frac 3x) \over x(3-\frac 1x)}$ =${5 \over 3}$ y= ${5 \over 3}$ $\rightarrow$ W=$\mathbb{R}$ \ $\left (\frac 5 3 \right)$ x=${1 \over 3}$ $\rightarrow$ D=$\mathbb{R}$ \$\left (\frac 1 3 \right)$ Nullstelle: j(x)=${5x+3 \over 3x-1}$ | $\times$(3x-1) j(x)=5x+3 x=$-{3 \over 5}$ → $P \left(-{3 \over 5}/0 \right)$ Trigonometrische Funktionen Gegeben ist die Funktion k(x)=2cosx. Bestimme den Definitionsbereich, die Wertemenge, die Amplitude und die Nullstellen. Lösung anzeigen Lösung verstecken D=$\mathbb{R}$ W={-2;2} Amplitude:2 Nullstellen: $x_k=2k {\Pi \over 2}$ Exponentialfunktionen Gegeben ist die Funktion l(x)=4x. Bestimme die Definitionsmenge, den Wertebereich, die Asymptote in x-Richtung und beschreibe den Verlauf des Graphen. Vergleiche deine Ergebnisse mit dem Graphen, den dir GeoGebra liefert. Lösung anzeigen Lösung verstecken D=$\mathbb{R}$ W=$\mathbb{R}$+ Graph: steigend Asymptote: x=0 Wurzelfunktionen Gegeben ist die Funktion f(x)=$\sqrt x$ . Bestimme die Definitionsmenge und die Nullstelle. Lösung anzeigen Lösung verstecken D=]0;$\infty$]     da unter der Wurzel keine negativen Werte stehen dürfen. f(x)=0 $\sqrt x$=0 x=0

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