Symmetrie von Funktionsgraphen

Symmetrie von Funktionsgraphen Achsensymmetrie Im nebenstehenden Koordinatensystem ist der Graph der Funktion f(x)=x4-x2 abgebildet. Bei der Betrachtung des Graphen fällt auf, dass er auf beiden Seiten der y-Achse den gleichen Verlauf nimmt. Wenn man also einen Punkt des Graphen an der y-Achse spiegelt, liegt der Spiegelpunkt ebenfalls auf dem Graphen. Dies wird als Achsensymmetrie zur y-Achse bezeichnet. Zum Beweis dieser Symmetrie nutzt man den Zusammenhang f(x)=f(-x). Wenn also das Einsetzen von f(x) und f(-x) den gleichen Funktionswert ergibt, handelt es sich um einen achsensymmetrischen Graphen. Setzt man beispielsweise in diesem Fall 2 und -2 in den Funktionsterm ein, so kommt beide Male das gleiche Ergebnis dabei heraus: f(2)=24-22=12 f(-2)=(-2)4-(-2)2=12 In der Regel wird dieser Beweis allerdings allgemein durchgeführt, indem man –x in den Funktionsterm einsetzt: f(x)=x4-x2 f(-x)=(-x)4-(-x)2     =x4-x2     =f(x) Punktsymmetrie zum Ursprung Im nebenstehenden Koordinatensystem ist der Graph der Funktion f(x)=x3 dargestellt. Hier lässt sich nicht wie im vorigen Fall eine Symmetrie zu einer Achse feststellen. Stattdessen ist diese Funktion symmetrisch zum Ursprung. Hierbei gilt der Zusammenhang f(x)=-f(-x). Das bedeutet, dass die Funktionswerte von f(x) und f(-x) vom Betrag her gleich sein müssen, aber unterschiedliche Vorzeichen haben. Dies lässt sich leicht durch ein Beispiel beweisen: f(1)=13=1 f(-1)=(-1)3=-1 Wie auch der Beweis der Achsensymmetrie wird dieser Beweis in der Regel allgemein geführt: f(x)=x3 f(-x)=(-x)3     =-x3     =-f(x) Merke: Achsensymmetrie zur y-Achse:       f(x)=-f(x) Punktsymmetrie zum Ursprung:     f(-x)=-f(x) Ganzrationale Funktionen Aufgabe: Unten siehst du 2 Applets mit Funktionsgraphen. Versuche, durch Verschieben der Regler Zusammenhänge zwischen der Veränderung der Exponenten und der Symmetrie der Graphen zu erkennen. Beachte dabei, wie die Regler eingestellt sind. Bei den Funktionen im oberen Applet handelt es sich um achsensymmetrische Funktionen, bei denen im unteren Applet um punktsymmetrische Funktionen. Betrachtet man die Exponenten der Funktionen, fällt auf, dass die achsensymmetrischen Funktionen nur gerade Exponenten enthalten. Deshalb werden sie gerade Funktionen genannt (Zahlen ohne Variable x gelten als gerade). Die punktsymmetrischen Funktionen enthalten nur ungerade Exponenten und heißen daher ungerade Funktionen. Wenn du dir also die Funktionen im oberen Applet anschaust, haben diese grundsätzlich gerade Exponenten, egal wie du die Regler verschiebst. Merke: Eine gerade Funktion enthält nur geradzahlige Exponenten und ist achsensymmetrisch zur y-Achse. Eine ungerade Funktion enthält nur ungeradzahlige Exponenten und ist punktsymmetrisch zum Ursprung. Beispielaufgaben Aufgabe 1: Untersuche folgende Funktionen rechnerisch auf Symmetrieeigenschaften. a) f(x)=3x5 b) f(x)=x4-2x2+3 c) f(x)=x3-1 Lösung anzeigen Lösung verstecken a) f(x)=3x5 f(-x)=3(-x)5 f(-x)=-3x5 f(-x)=-f(x)   oder f(x)=-f(-x) → Punktsymmetrie zum Ursprung b) f(x)=x4-2x2+3 f(-x)=(-x)4-2(-x)2+3 f(-x)=x4-2x2+3=f(x) → Achsensymmetrie zur y-Achse c) f(x)=x3-1 f(-x)=-x3-1 → Weder Achsensymmetrie zur y-Achse noch Punktsymmetrie zum Ursprung Aufgabe 2: Überprüfe, ob die Funktionen gerade oder ungerade sind. a) f(x)=11x8-6x6+5x2-3 b) f(x)=4x7+x5-3x3 c) f(x)=5x3-2 Lösung anzeigen Lösung verstecken a) f(x)=11x8-6x6+5x2-3 Nur gerade Exponenten → gerade b) f(x)=4x7+x5-3x3 Nur ungerade Exponenten → ungerade c) f(x)=5x3-2 5x3 : ungerade 2    : gerade → Weder gerade noch ungerade Aufgabe 3: Richtig oder falsch? 1. Eine gerade Funktion ist punktsymmetrisch zum Ursprung. Richtig Falsch 2. Wenn f(2)=5 ist und f(-2)=5, dann ist der Graph achsensymmetrisch. Richtig Falsch 3. Die Funktion f(x)=x2+x+2 ist gerade. Richtig Falsch 4. Die Funktion f(x)=x3-1 ist ungerade. Richtig Falsch 5. Eine Zahl ohne Variable x ist gerade. Richtig Falsch Punkte: 0 / 0 Weiter zum Kapitel Grenzwerte im Unendlichen Zurück zur Übersicht