Lösung von Teilaufgabe c) 1.

Tangente im Punkt W_a( a + 2 / 2 ) an G_fa mit dem Schnittpunkt A (0 / 2012 )

Wichtig für diese Aufgabe ist, dass man aus den gegebenen Größen, die richtigen Schlussfolgerungen zieht:

$x = 0\;$

$y = 2012\;$

$x_0 = a + 2\;$

$f_a( x_0 ) = f_a( a + 2 ) = 2\;$

Egal für welchen Lösungsweg man sich entscheidet, die Steigung am Punkt W_a( a + 2 / 2 ) wird in jedem Fall benötigt. Um diese zu erhalten, braucht man nur die x-Koordinaten des Punktes in die erste Ableitung einsetzen.

$f^{'}_a( a + 2 ) = e^{a + 2 - ( a + 2 )}\cdot ( 1 + a - ( a + 2 ) )$

$= e^{a + 2 - a - 2 }\cdot ( 1 + a - a - 2 ) )$

$= e^{0}\cdot ( -1 ) )$

$= -1\;$

$f^{'}_a( x_0 ) = f^{'}_a( a + 2 ) = m = -1\;$

Lösung; Tangentengleichung

Die Lösung mit Hilfe der Tangentengleichung ist der Lösungsweg, welchen ich bevorzuge, da es einem die Überlegung ersparrt, einen zweiten Rechenschritt durchzuführen.
Man schlägt einfach die Tangentengleichung in seiner Formelsammlung (Mathematische Formeln und Definitionen von Barth, Mühlbauer, Nikol, Wörle) auf Seite 58 nach und setzt in diese die gegebenen Werte ein.
Nun muss man nur noch nach a auflösen und bekommt das Ergenis.

$y = f^{'}( x_0 )\cdot ( x - x_0 ) + f ( x_0)$

$y = f^{'}_a( a + 2 )\cdot ( x - ( a + 2 )) + f ( a + 2 )$

$y = (-1)\cdot ( x - a - 2 ) + 2$

$y = -x + a + 2 + 2\;$

$y = -x + a + 4\;$

$2012 = 0 + a + 4\;\;\;\;\;\;\; | -4$

$a = 2008\;$

Lösung; Fußweg

Bei der Lösung mit dem Fußweg, ist als erstes zu wissen, dass die Gleichung für die allgemeine Tangente $y = m\cdot x + t$ lautet.
Auch hier muss man erst wieder die gegebenen Werte einsetzen und dann aber zuerst nach t (y-Achsenabschnitt) auflösen. Dieses Teilergebnis muss nun nocheinmal in die allgemeine Gleichung der Tangente eingesetzt werden, und erst jetzt kann man nach dem gesuchten a auflösen.

$y = m\cdot x + t$

$f_a( x_0 ) = f^{'}_a( x_0 )\cdot x_0 + t$

$f_a( a + 2 ) = f^{'}_a( a + 2 )\cdot x_0 + t$

$2 = -1\cdot x_1 + t \;\;\;\;\;\; | - ( -1\cdot x_0)$

$t = 2 - ( -1\cdot x_0 )$

$t = 2 - ( -1\cdot ( a + 2 ))$

$t = 2 - ( -a - 2)\;$

$t = 2 + a + 2 \;$

$t = a + 4 \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; |\;einsetzen\; in\; y = m\cdot x + t$

$y = m\cdot x + a + 4$

$2012 = -1\cdot 0 + a + 4$

$2012 = a + 4 \;$

$a = 2008\;$

Lösung; Clever

Da die Steigung einer Tangente an jedem Punkt gleich ist, und man die Steigung aus dem Quotienten, der Differenz von y₂ und y₁ und der Differenz von x₂ und x₁ erhält,
kann man das in diesem Fall ohne Umwege ansetzen.

$\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = f{'}_a ( x )$

$\frac{2012 - 2}{0 - ( a + 2 )} = -1$

$\frac{2010}{(-a - 2 )} = -1 \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;| \cdot( -a - 2 )$

$2010 = a + 2\;$

$2008 = a\;$

Verdeutlichung durch Grafiken

Zuerst das Bild, auf dem sowohl die Tangente an den Wendepunkt des Graphens $f_2\,$ als auch der Schnittpunkt mit der y-Achse bei 2012 zu sehen ist.
Als zweites Bild ein Zoom auf den Schnittpunkt mit der y-Achse,
und als drittes Bild ein Zoom auf den Graphen von $f_2\,$.