Die e-Funktion

Die natürliche Exponentialfunktion

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Für alle Exponentialfunktionen gilt: f´(x)=f´(0)*f(x)
Von besonderem Interesse ist nun diejenige Exponentialfunktion, für die gilt f´(x) = f(x) bzw. f´(0) = 1. Die Tangente dieser Funktion im Punkt (0/1) hat die Gleichung y = x + 1.

• Im folgenden Applet ist der Graph einer Exponentialfunktion mit der Basis a, deren Tangente in (0/1) sowie die Gerade mit y = x + 1 dargestellt. Bestimme mit Hilfe des Schiebereglers möglichst genau den Wert der Basis der Exponentialfunktion, deren Tangente in (0/1) mit der Geraden zusammenfällt.

• Die Basis der natürlichen Exponentialfunktion ist die Eulersche Zahl e. Man nennt sie daher auch kurz e-Funktion. Der Zahlenwert der Eulerschen Zahl beträgt etwa 2,718... Mehr zu dieser besonderen Zahl findet man in diesem Exkurs.

• Ein einfacher Beweis dafür, dass die Funktion f(x) = e^x tatsächlich die gesuchte Funktion mit f´(x) = f(x) ist, findet sich auf diesem Arbeitsblatt. Das folgende Applet verdeutlicht die Grundannahme dieses Beweises: Die e-Funktion hat nur einen einzigen Schnittpunkt mit der Geraden y = x + 1 und verläuft nie unterhalb dieser Geraden.

Mehr zur e-Funktion findet man bei www.mathe-online.at.