Behauptung:
Es können nur fünf Platonische Körper existieren!
Grundlegende Überlegungen:
(1) Welche Bedingungen müssen eingehalten werden, um Platonische Körper zu erzeugen?
(2) Welche Bedingungen müssen eingehalten werden, um eine konvexe Körperecke zu erzeugen?
(3) Welche Bedingungen müssen eingehalten werden, um eine Körperecke zu erzeugen?
Beiweisführung:
aus 2.1 und 3.1 folgt: Die maximale Winkelsumme einer Ecke geteilt durch die Anzahl der zusammenstoßenden regulären Polygone in dieser, ergeben den maximalen Flächenwinkel der Polygone.
Winkelsumme jeder Ecke < 360° (1.1)
Anzahl der zusammenstoßenden regulären Polygone ≥ 3
==> <360° / 3 = <120°
==> Jedes reguläre Polygon mit einem kleineren Flächenwinkel als 120° kann als Grundkörper für die Bildung von Platonischen Körpern verwendet werden
Es existieren nur die drei Polygone reguläres Dreieck (60°), Viereck (90°) und Fünfeck (108°), die diese Bedingung erfüllen.
Denn andere n-Ecke mit n ≥ 6 haben,
aufgrund der Formel der Winkelsummen, welche aus den Axiomen der euklidischen Geometrie abgeleitet ist, einen Flächenwinkel ≥ 120°. ![reguläres Dreieck](/images/thumb/e/ec/Regular_triangle.svg/150px-Regular_triangle.svg.png) ![reguläres Viereck](/images/thumb/f/f7/Regular_quadrilateral.svg/160px-Regular_quadrilateral.svg.png)
Bei der Anzahl der zusammenstoßenden regulären Polygone gleich 3 und einem daraus folgenden Flächenwinkel der Polygone von kleiner als 120° können also die drei Polygone reguläres Dreieck, Viereck und Fünfeck als Ausgangskörper zur Bildung von Platonischen Körpern angesehen werden.
3 * 60° > 360°
3 * 90° > 360°
3 * 108° > 360°
Bei der Anzahl der zusammenstoßenden regulären Polygone gleich 4 und einem daraus folgenden Flächenwinkel der Polygone von kleiner als 90° kann also nur ein Polygon nämlich das reguläres Dreieck als Ausgangskörper zur Bildung von Platonischen Körpern angesehen werden.
4 * 60° > 360°
Bei der Anzahl der zusammenstoßenden regulären Polygone gleich 5 und einem daraus folgenden Flächenwinkel der Polygone von kleiner als 72° kann also nur ein Polygon nämlich das reguläres Dreieck als Ausgangskörper zur Bildung von Platonischen Körpern angesehen werden.
5 * 60° > 360°
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