Beweis

B E W E I S Der nun folgende "Beweis" ist von anschaulich-inhaltlicher Art und somit als nicht allgemeingültig anzusehen. Er soll nur dazu dienen, den Sachverhalt schülergerecht zu veranschaulichen, sodass die Grundüberlegungen dieses Beweises verstanden werden.      Behauptung: Es können nur fünf Platonische Körper existieren!      Grundlegende Überlegungen:           (1) Welche Bedingungen müssen eingehalten werden, um Platonische Körper zu erzeugen? Antwort anzeigen Antwort verstecken                                                                                                                Aus den grundlegenden Definitionen (Hier zu finden) folgen die Bedingungen      o Kongruenz der Ecken (1.1)      o paarweise Kongruenz der regulären Polygone (1.2)      o und Konvexität des Polyeders (1.3)           (2) Welche Bedingungen müssen eingehalten werden, um eine konvexe Körperecke zu erzeugen? Antwort anzeigen Antwort verstecken                                                                                                                     o Um eine konvexe Ecke zu erzeugen,         muss die Winkelsumme der Ecke kleiner als 360° sein. ( 2.1)      o Würde die Ecke eine Winkelsumme von genau 360° aufweisen,         könnte man zwar mit dieser eine Ebene parkettieren, aber keine             konvexe Ecke erzeugen. (2.2)      o Eine größere Winkelsumme als 360° kann nicht erzeugt werden,         da die maximale Winkelsumme 360° beträgt. (2.3)           (3) Welche Bedingungen müssen eingehalten werden, um eine Körperecke zu erzeugen? Antwort anzeigen Antwort verstecken                                                                                                                     o Um eine Körperecke zu erzeugen, müssen auf dieser, die Ecken         von mindestens drei Polygonen zusammen-/aufeinandertreffen. (3.1)      o Falls weniger als drei Kanten in einer Ecke aufeinandertreffen, kann         keine Ecke im Raum entstehen. (3.2) Beispiel anzeigen Beispiel verstecken                                                                                                                Beispiel 3.1: Beispiel 3.2:      Beiweisführung:            aus 2.1 und 3.1 folgt: Die maximale Winkelsumme einer Ecke geteilt durch die Anzahl der zusammenstoßenden regulären Polygone in dieser, ergeben den maximalen Flächenwinkel der Polygone.                                            Winkelsumme jeder Ecke < 360° (1.1)                                            Anzahl der zusammenstoßenden regulären Polygone ≥ 3                                                  ==> <360° / 3 = <120°                                                       ==> Jedes reguläre Polygon mit einem kleineren Flächenwinkel als 120° kann als Grundkörper für die Bildung von Platonischen Körpern verwendet werden                                                              Es existieren nur die drei Polygone reguläres Dreieck (60°), Viereck (90°) und Fünfeck (108°), die diese Bedingung erfüllen. Denn andere n-Ecke mit n ≥ 6 haben,                                                              aufgrund der Formel der Winkelsummen, welche aus den Axiomen der euklidischen Geometrie abgeleitet ist, einen Flächenwinkel ≥ 120°.                                                                                       Bei der Anzahl der zusammenstoßenden regulären Polygone gleich 3 und einem daraus folgenden Flächenwinkel der Polygone von kleiner als 120° können also die drei                                            Polygone reguläres Dreieck, Viereck und Fünfeck als Ausgangskörper zur Bildung von Platonischen Körpern angesehen werden.                                             3 * 60° > 360°                                             3 * 90° > 360°                                             3 * 108° > 360°                                            Bei der Anzahl der zusammenstoßenden regulären Polygone gleich 4 und einem daraus folgenden Flächenwinkel der Polygone von kleiner als 90° kann also nur ein Polygon                                            nämlich das reguläres Dreieck als Ausgangskörper zur Bildung von Platonischen Körpern angesehen werden.                                             4 * 60° > 360°                                            Bei der Anzahl der zusammenstoßenden regulären Polygone gleich 5 und einem daraus folgenden Flächenwinkel der Polygone von kleiner als 72° kann also nur ein Polygon                                            nämlich das reguläres Dreieck als Ausgangskörper zur Bildung von Platonischen Körpern angesehen werden.                                             5 * 60° > 360°