Quint-System

Die pythagoreische Stimmung

Pythagoras entdeckt die Proportionen

Sie geht auf Pythagoras von Samos zurück. Die verschiedenen Intervalle wurden in der Antike von den Pythagoreern experimentell vom Monochord abgeleitet. Die abgeleiteteten Zahlenverhältnisse wurden durch die Proportionen der klingenden Saitenlängen hörbar gemacht. Pythagoras von Samos erkannte, der Schmiedlegende(siehe Kapitel XX.) nach, als erster den Zusammenhang zwischen den Zahlenverhältnissen und den Tonabständen.

Sein System baut auf den beiden Intervallen Quinte Q und Oktave Ok auf, denn zu allen anderen Intervallen, die es in diesem System gibt, existieren natürliche Zahlen (n,m), für die gilt:

$i = n\cdot Q + m\cdot Ok;$

Aus dieser Gleichung wird deutlich, dass sich alle anderen Intervalle als Linearkombination der beiden darstellen lassen. Die pythagoreische Stimmung ist ein Quint-System, in der, ausgehend von Quinte und Oktave, alle Töne eingeteilt werden.

Für Interessierte: Brief des Guido von Arezzo (Beschreibung der pythagoreischen Stimmung)

Die Berechnung der Töne in der pythagoreischen Stimmung:

Allgemein lässt sich hier die Höhe des Tones mit folgender Formel wiedergeben:

$H(t):= \frac{k}{S(t)}$

H(t) ist die Tonhöhe; S(t) die Saitenlänge (in einer beliebigen Längeneinheit); k ist eine feste Konstante.

Beim Monochord ist die Länge der schwingenden Saite (oder des Saitenabschnitts) bei konstanter Saitenspannung umgekehrt proportional zur Frequenz.

Für zwei Töne, A und B, gilt, wenn sie eine Oktave auseinanderliegen:

$\frac{H(A)}{H(B)} = \frac{2}{1} ;$

$\frac{H(A)}{H(B)} = \frac {3} {2}$ im Falle einer Quinte;

$\frac{H(A)}{H(B)} = \frac {4}{3}$ im Falle einer Quarte;

Dies waren die Proportionen, die besonderen Wohlklang erzeugten. Nun versuchte Pythagoras mit Hilfe der Quinte die Oktave ins 6 gleichgroße Schritte zu zerlegen. Indem er zuerst 2 Quinten aufwärts und dann wieder eine Oktave abwärts ging erhielt er folgendes Verhältnis:

$i = \frac{1}{2} \cdot (\frac{3}{2})^2 = \frac{9}{8};$ das Verhältnis der Sekunde.

Mit A₀ als Grundton und der Höhe H(A₀) = 1 konstruierte er die anderen 6 Tonhöhen A₁,A₂,...A₆;

$H(Au) = i^u \cdot H(Ao) = i^u; u= (0),1,2,...,6;$

Der u-te Ton ensteht aus der (2u)-ten Quinte durch Erniedrigung um u Oktaven.

Berechnung der Intervalle in der pythagoreischen Stimmung

Man kann alle Töne nach der auf der auf der vorgehenden Seite angegebenen Formel berechnen. Aus den verschiedenen Tonhöhen enthält man die verschiedenen Intervalle.
Die pythagoreische Stimmung setzt sich aus fünf großen und zwei kleinen Tonschritten zusammen. Den großen Tonschritt haben wir bereits berechnet.

Er beträgt $\textstyle \frac {9}{8}.$

Alternativ kann man ihn berechnen, wenn man von einer Quinte eine Quarte abzieht:

$\frac {3}{2} : \frac {4}{3} = \frac {9}{8};$

Der kleine Tonschritt, der Halbton ergibt sich, wenn man von der Quarte zwei Ganztöne „abzieht“

$\frac {4}{3}: \frac {9\cdot9}{8\cdot8} = \frac {256}{243};$

„In der folgenden Übersicht über die Intervalle der pythagoreischen Skala mit den entsprechenden mittelalterlichen Bezeichnungen sind die Zahlenverhältnisse vom Halbton bis zu Oktave zusammengestellt:

256 : 243	semitonium (Halbton)
9 : 8	tonus (Ganzton)
32 : 27	semiditonus (kleine Terz)
81 : 64	ditonus (große Terz)
4 : 3	diatessaron (Quarte)
729 : 512	tritonus (Tritonus)
3 : 2	diapente (Quinte)
128 : 81	semitonium et diapente (kleine Sexte)
27 : 16	tonus et diapente (große Sexte)
16 : 9	semiditonus et diapente (kleine Septime)
243 : 128	ditonus et diapente (große Septime)
2 : 1	diapason (Oktave)“

Das pythagoreische Komma

Nach der 12. Quinte sollte man eigentlich wieder beim Anfangston angelangt sein. 12 Quinten sollten 7 Oktaven entsprechen.
Jedoch gilt für 12 Quinten:

$Q^{12} = (\frac{3}{2})^{12} = 129{,}7463379;$

für 7 Oktaven gilt:

$Ok^7 = 2^7 = 128;$

Man sieht, dass die 12 Quinten die 7 Oktaven übertreffen.

Das pythagoreische Komma entspricht dem Verhältnis der 12 Quinten zu den 7 Oktaven

$\frac {12 Q} {7 Ok} = \frac {(\frac {3}{2})^{12}} {2^7} = \frac {531441}{524288}$

Für Interessierte: Die pythagoreische Tonleiter und Probleme des Systems

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