BMT8 2008

Aufgaben des BMT 8 2008 Gruppe A

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BMT8 2008 Angabe

BMT8 2008 Lösung

frühere Jahrgänge

Aufgabe 1

Aus einem Quader wurde an einer Ecke ein Würfel herausgeschnitten (vergleiche nebenstehende Abbildung). Berechne das Volumen des Restkörpers.

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Das Volumen beträgt 333 cm³.

möglicher Rechenweg:

V_Quader - V_Würfel =

5 cm · 12 cm · 6 cm - (12 cm - 9 cm)³ =

360 cm³ - 27 cm³ =

333 cm³

Aufgabe 2a

Nebenstehende Tabelle zeigt, wie viele Euro-Geldscheine am 31. Mai 2007 in Umlauf waren. Beispielsweise befanden sich von den 200 €-Scheinen 153 Millionen Stück in Umlauf.

Wert	Anzahl der Scheine in Millionen
500 €	429
200 €	153
100 €	1116
50 €	3983
20 €	2244
10 €	1804
5 €	1325

Wie hoch war der Gesamtwert aller 50 €-Scheine?

1. ca. 2 Milliarden Euro
2. ca. 200 Milliarden Euro
3. ca. 20 Milliarden Euro
4. ca. 200 000 Euro
5. ca. 2 Billionen Euro

prüfen!

Aufgabe 2b

Diese Aufgabe bezieht sich auf die Tabelle aus Aufgabe 2a!

Ungefähr wie viel Prozent aller in Umlauf befindlichen Scheine waren 20 €-Scheine? Die notwendigen Rechnungen brauchen nicht exakt ausgeführt zu werden, es genügt jeweils ein Überschlag. Der Lösungsweg muss nachvollziehbar sein.

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Ungefähr 20 % aller im Umlauf befindlicher Scheine waren 20 € Scheine.

möglicher Lösungsweg:

ungefähre Anzahl aller Scheine: 400 + 200 + 1100 + 4000 + 2200 + 1800 + 1300 = 5700 + 4000 + 1300 = 11000

ungefähre Anzahl der 20 € - Scheine: 2200

$\textstyle\frac{2200}{11000}$ = $\textstyle\frac{1}{5}$ = 20 %

Aufgabe 3a

Bestimme die Lösung der Gleichung 12 - 6 · ($\frac{1}{3}$x + 3) = 4x.

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x = -1

möglicher Rechenweg:

12 - 6 · ($\textstyle\frac{1}{3}$x + 3) = 4x

12 - [6 · $\textstyle\frac{1}{3}$x + 6 · 3] = 4x Distributivgesetz

12 - [2x + 18] = 4x

12 - 2x - 18 = 4x Klammer auflösen

-6 = 6x

x = -1

Aufgabe 3b

Diese Aufgabe bezieht sich auf die Gleichung aus Aufgabe 3a!

Durch welche Zahl muss in obiger Gleichung die Zahl 12 ersetzt werden, damit x = 0 Lösung der neuen Gleichung ist?

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12 muss durch 18 ersetzt werden.

möglicher Lösungsweg:

Mit x = 0 und z für die gesuchte Zahl ergibt sich folgende Gleichung:

z - 6 · 3 = 0

Also ist die Zahl 12 durch die Zahl 18 zu ersetzen.

Aufgabe 4a

Im Rahmen des Verkehrsunterrichts wurden die Fahrräder der Unterstufenschüler überprüft. Die einzelnen Mängel wurden in folgender Liste zusammengefasst:

• mangelhafte Beleuchtung an jedem 6. Fahrrad
• mangelhafte Bremsen an 15 % der Fahrräder
• mangelhafte Reifen an $\frac{1}{5}$ der Fahrräder

Welcher Mangel wurde am häufigsten festgestellt? Begründe deine Antwort durch einen Größenvergleich der in der Liste genannten Anteile.

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Am häufigsten wurden mangelhafte Reifen festgestellt.

mögliche Begründung durch Größenvergleich in der Bruchdarstellung:

• mangelhafte Beleuchtung: "Jedes 6. Fahrrad" entspricht $\textstyle\frac{1}{6}$ aller Fahrräder
• mangelhafte Bremsen: 15% = $\textstyle\frac{15}{100}$ = $\textstyle\frac{3}{20}$
• mangelhafte Reifen: $\textstyle\frac{1}{5}$

Größenvergleich der Brüche:

• $\textstyle\frac{1}{5}$ > $\textstyle\frac{1}{6}$
• $\textstyle\frac{1}{5}$ = $\textstyle\frac{4}{20}$ > $\textstyle\frac{3}{20}$

Der Bruch $\textstyle\frac{1}{5}$ hat den größten Wert, der zugehörigen Mangel wurde am häufigsten festgestellt.

mögliche Begründung durch Größenvergleich in der Prozentdarstellung:

• mangelhafte Beleuchtung: $\textstyle\frac{1}{6}$ entspricht ca. 17%
• mangelhafte Bremsen: 15%
• mangelhafte Reifen: $\textstyle\frac{1}{5}$ = 20%

Aufgabe 4b

Diese Aufgabe bezieht sich auf die Liste aus Aufgabe 4a!

Peter schaut sich die obige Liste mit den Ergebnissen der Überprüfung an, rechnet kurz und sagt dann: „Nach dieser Liste sind mehr als 50 % aller untersuchten Fahrräder mangelhaft.“ Begründe, dass Peter nicht unbedingt Recht hat.

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Peter berücksichtigt nicht, dass ein Fahrrad auch zwei oder drei der genannten Mängel aufweisen kann.

Aufgabe 5a

Die Summe der Innenwinkel in einem n-Eck beträgt (n-2)·180°.

Wie viele Ecken hat ein n-Eck mit der Innenwinkelsumme 720°?

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Es hat 6 Ecken.

Begründung:

720° = 4 · 180°

Also ist n - 2 = 4 und damit n = 6.

Aufgabe 5b

Ein n-Eck mit lauter gleich langen Seiten und gleich großen Innenwinkeln heißt reguläres n-Eck. Berechne die Größe eines Innenwinkels im regulären Zehneck.

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Die Größe des Innenwinkels beträgt 144°.

möglicher Lösungsweg:

Zehneck: n = 10

Innenwinkelsumme (10 - 2)·180° = 1440°

Größe eines der zehn gleich großen Innenwinkel: 144°

Aufgabe 6a

Von einer Raute sind die Diagonalenlängen e und f bekannt. Überlege, wie man daraus den Flächeninhalt der Raute ermitteln kann, und gib eine entsprechende Formel an.

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A = 0,5 · e · f

Mögliche Begründung:

Datei:BMT8 08 A6a 01.jpg Die beiden Diagonalen teilen die Raute in vier gleiche rechtwinkligen Dreiecke. Gruppiert man die Dreiecke um, erhält man ein Rechteck mit z.B. den Kantenlängen 0,5·e und f. Der Flächeninhalt des Rechtecks (und damit der der Raute) beträgt 0,5·e·f.

weitere Möglichkeiten:

Datei:BMT8 08 A6a 02.jpgDatei:BMT8 08 A6a 03.jpg

Aufgabe 6b

Konstruiere nur mit Zirkel und Lineal eine Raute, bei der ein Innenwinkel 60° beträgt.

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Datei:BMT8 08 A6b 01.jpg

Zeichne eine beliebige Strecke [AB] der Länge a.

Datei:BMT8 08 A6b 02.jpg

Zeichne zwei Kreise mit dem Radius a und den Mittelpunkten A und B. Der Schnittpunkt der beiden Kreise ist der Eckpunkt D der Raute.

Datei:BMT8 08 A6b 03.jpg

Zeichne zwei Kreise mit dem Radius a und den Mittelpunkten B und D. Der Schnittpunkt der beiden Kreise ist der Eckpunkt C der Raute.

Aufgabe 7

Berechne den Wert des Terms 0,1 · (2,4 : 0,6).

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Der Wert des Terms beträgt 0,4.

Möglicher Rechenweg:

0,1 · (2,4 : 0,6) = 0,1 · (24 : 6) = 0,1 · 4 = 0,4

Aufgabe 8a

Gib zwei Zahlen mit verschiedenen Vorzeichen an, so dass auf der Zahlengeraden die Zahl 20 in der Mitte zwischen diesen beiden Zahlen liegt.

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z.B.-10 und 50

Begründung:

Datei:BMT8:08 A08a.jpg

Geht man von der Zahl 20 aus 30 nach links, kommt man zur Zahl -10.

Geht man von der Zahl 20 aus 30 nach rechts, kommt man zur Zahl 50.

Aufgabe 8b

Bestimme den Mittelwert der Zahlen $\frac{1}{3}$ und $\frac{1}{2}$.

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Der Mittelwert der beiden Zahlen ist $\textstyle\frac{5}{12}$.

Lösung durch Rechnung:

($\textstyle\frac{1}{3}$ + $\textstyle\frac{1}{2}$) : 2 =

($\textstyle\frac{2}{6}$ + $\textstyle\frac{3}{6}$) : 2 = Hauptnenner bilden

$\textstyle\frac{5}{6}$ : 2 =

$\textstyle\frac{5}{12}$

Überlegung am Zahlenstrahl:

Datei:BMT8:08 A08b.jpg

Es gilt: $\textstyle\frac{1}{3}$ = $\textstyle\frac{2}{6}$ = $\textstyle\frac{4}{12}$ und $\textstyle\frac{1}{2}$ = $\textstyle\frac{3}{6}$ = $\frac{6}{12}$

Der Bruch $\textstyle\frac{5}{12}$ liegt genau in der Mitte zwischen $\textstyle\frac{4}{12}$ und $\textstyle\frac{6}{12}$

Aufgabe 9a

Die Nationalfahne der Schweiz zeigt ein weißes Kreuz auf rotem Grund. Für die vier kongruenten Arme des Kreuzes ist durch Beschluss der Schweizer Bundes- versammlung aus dem Jahr 1889 festgelegt: Die Länge l eines Arms ist um $\frac{1}{6}$ der Breite b größer als b (vergleiche nebenstehende Abbildung).

Wie lang ist ein Arm, wenn seine Breite 18 cm beträgt?

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Der Arm ist 21 cm lang.

mögliche Lösungswege:

l = b + $\textstyle\frac{1}{6}$b = 18 cm + 3 cm = 21 cm

oder

l = b + $\textstyle\frac{1}{6}$b = $\textstyle\frac{7}{6}$b = $\textstyle\frac{7}{6}$·18 cm = (18 cm : 6)· 7 = 21 cm

Aufgabe 9b

Stelle einen Term auf, der den Flächeninhalt des weißen Kreuzes in Abhängigkeit von der Breite b eines Arms beschreibt. Fasse den Term, in dem nur noch b als Variable vorkommen soll, so weit wie möglich zusammen.

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A = $\textstyle\frac{17}{3}$b²

Möglicher Lösungsweg:

A = 4 · l·b + b² = 4 · $\textstyle\frac{7}{6}$b · b + b² = $\textstyle\frac{28}{6}$b² + b² = $\textstyle\frac{34}{6}$b² = $\textstyle\frac{17}{3}$b²