Abi 2016 Geometrie I Teil B

Mathematik (Bayern): Abiturprüfung 2016 Geometrie I - Teil B Download der Originalaufgaben - Lösung zum Ausdrucken

Aufgabe 1 In einem kartesischen Koordinatensystem legen die Punkte A(6/3/3) , B(3/6/3) und C(3/3/6) das gleichseitige Dreieck ABC fest. a) Ermitteln Sie eine Gleichung der Ebene E, in der das Dreieck ABC liegt, in Normalenform. (mögliches Ergebnis: E: x1+x2+x3-12=0) [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] 700px Spiegelt man die Punkte A, B und C am Symmetriezentrum Z(3|3|3), so erhält man die Punkte A', B' bzw. C'. b)Beschreiben Sie die Lage der Ebene, in der die Punkte A, B und Z liegen, im Koordinatensystem. Zeigen Sie, dass die Strecke [CC'] senkrecht auf dieser Ebene steht. [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] 700px c)Begründen Sie, dass das Viereck ABA'B' ein Quadrat mit der Seitenlänge 3√2 ist. [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] 700px Der Körper ABA'B'CC' ist ein sogenanntes Oktaeder. Er besteht aus zwei Pyramiden mit dem Quadrat ABA'B' als gemeinsamer Grundfläche und den Pyramidenspitzen C bzw. C'. d) Weisen Sie nach, dass das Oktaeder das Volumen 36 besitzt. [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] 700px e) Bestimmen Sie die Größe des Winkels zwischen den Seitenflächen ABC und AC'B. [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] 700px f)Alle Eckpunkte des Oktaeders liegen auf einer Kugel. Geben Sie eine Gleichung dieser Kugel an. Berechnen Sie den Anteil des Oktaedervolumens am Kugelvolumen. [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] 700px