Abi 2016 Analysis I Teil B

Mathematik (Bayern): Abiturprüfung 2016 Analysis I - Teil B Download der Originalaufgaben - Lösung zum Ausdrucken

Aufgabe 1 Gegeben ist die in IR definierte Funktion $f:x \mapsto e^{\frac{1}{2}x}+e^{-\frac{1}{2}x}$. Der Graph von f wird mit Gf bezeichnet. a) Bestimmen Sie die Koordinaten des Schnittpunktes von Gf mit der y-Achse und begünden Sie, dass Gf oberhalb der x-Achse verläuft. [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] 700px b) Ermitteln Sie das Symmetrieverhalten von Gf sowie das Verhalten von f für x→-∞ und für x→+∞. [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] 700px c) Zeigen Sie, dass für die zweite Ableitung f von f die Beziehung $f''(x)=\frac{1}{4} \cdot f(x)$ für x∈IR gilt. Weisen Sie nach, dass Gf linksgekrümmt ist. (Zur Kontrolle $f'(x)= \frac{1}{2}\cdot (e^{\frac{1}{2}x}- e^{-\frac{1}{2}x})$ ) [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] 700px d) Bestimmen Sie Lage und Art des Extrempunkts von Gf. [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] 700px e)Berechnen Sie die Steigung der Tangente g an Gf im Punkt P(2/f(2)) auf eine Dezimale genau. Zeichnen Sie den Punkt P und die Gerade g in ein Koordinatensystem ein (Platzbedarf im Hinblick auf das Folgende:-4≤x≤4, -1≤y≤9). [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] 700px f) Berechnen Sie f (4) , im Hinblick auf eine der folgenden Aufgaben auf zwei Dezimalen genau, und zeichnen Sie unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse Gf im Bereich -4≤x≤4 in das Koordinatensystem aus Aufgabe 1e ein. [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] 700px g) Zeigen Sie durch Rechnung, dass für x ∈ IR die Beziehung $\frac{1}{4} \cdot [f(x)]^{2}-[f'(x)]^{2} =1$ gilt. [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] 700px Die als Kurvenlänge La;b bezeichnete Länge des Funktionsgraphen von f zwischen den Punkten (a/f(a)) und (b/f(b)) mit a<b lässt sich mithilfe der Formel $L_{a;b}= \int_{a}^{b} \sqrt{1+[f'(x)]^{2}} \,dx$ berechnen. h)Bestimmen Sie mithilfe der Beziehung aus Aufgabe 1g die Kurvenlänge L0;b des Graphen von f zwischen den Punkten (0/f(0)) und (b/f(b)) mit b>0. (Ergebnis: $L_{0;b}= e^{\frac{1}{2}b}-e^{-\frac{1}{2}b}$) [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] 700px

Aufgabe 2 Die Enden eines Seils werden an zwei vertikalen Masten, die 8,00 m voneinander entfernt sind, in gleicher Höhe über dem Erdboden befestigt. Der Graph Gf aus Aufgabe 1 beschreibt im Bereich -4 ≤ x ≤ 4 modellhaft den Verlauf des Seils, wobei die Fußpunkte F1 und F2 der Masten durch die Punkte (-4/0) bzw. (4/0) dargestellt werden (vgl. Abbildung). Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht einem Meter in der Realität. a) Der Höhenunterschied zwischen den Aufhängepunkten und dem tiefsten Punkt des Seils wird als Durchhang bezeichnet. Berechnen Sie auf der Grundlage des Modells den Durchhang des Seils auf Zentimeter genau. [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] 700px b) Berechnen Sie auf der Grundlage des Modells die Größe des Winkels, den das Seil mit Mast 2 im Aufhängepunkt einschließt, sowie mithilfe der Kurvenlänge aus Aufgabe 1h die Länge des zwischen den Masten hängenden Seils auf Zentimeter genau. [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] 700px Der Graph von f soll durch eine Parabel näherungsweise dargestellt werden. Dazu wird die in IR definierte quadratische Funktion q betrachtet, deren Graph den Scheitelpunkt (0/2) hat und durch den Punkt (4/f(4)) verläuft. c) Ermitteln Sie den Term q(x) der Funktion q, ohne dabei zu runden. [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] 700px d) Für jedes x∈ ]0;4[ wird der Abstand der vertikal übereinander liegenden Punkte (x/q(x)) und (x/(f(x)) der Graphen von q bzw. f betrachtet, wobei in diesem Bereich q(x)>f(x) gilt. Der größte dieser Abstände ist ein Maß dafür, wie gut die Parabel den Graphen Gf im Bereich 0 < x < 4 annähert. Beschreiben Sie die wesentlichen Schritte, mithilfe derer man diesen größten Abstand rechnerisch bestimmen kann. [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] 700px