Abi 2015 Analysis I Teil B

Mathematik (Bayern): Abiturprüfung 2015 Analysis I - Teil B Download der Originalaufgaben - Lösung zum Ausdrucken

Aufgabe 1 Gegeben ist die Funktion f mit $f(x)=\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+3}$ und Definitionsbereich Df = IR\{-3; -1}. Der Graph vonf wird mit Gf bezeichnet. a) Zeigen Sie, dass f(x) zu jedem der drei folgenden Terme äquivalent ist: $\frac{2}{(x+1)(x+3)}$ ; $\frac{2}{x^2+4x+3}$ ; $\frac{1}{0,5\cdot (x+2)^2-0,5}$ [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] b) Begründen Sie, dass die x-Achse horizontale Asymptote von Gf ist, und geben Sie die Gleichungen der vertikalen Asymptoten von Gf an. Be- stimmen Sie die Koordinaten des Schnittpunkts von Gf mit der y-Achse. Abbildung 1 zeigt den Graphen der in IR definierten Funktion $p : x \mapsto 0,5\cdot(x+2)^2-0,5$, die die Nullstellen x = -3 und x = -1 hat. Für x ∈ Df gilt $f(x)=\frac{1}{p(x)}$. 350px [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] c) Gemäß der Quotientenregel gilt für die Ableitungen f' und p' die Beziehung: $f'(x)=-\frac{p'(x)}{(p(x))^2}$ für x ∈ Df. Zeigen Sie unter Verwendung dieser Beziehung und ohne Berechnung von f'(x) und p'(x), dass x = -2 einzige Nullstelle von f' ist und dass Gf in ]-3; -2[ streng monoton steigend sowie in ]-2;-1[ streng monoton fallend ist. Geben Sie Lage und Art des Extrempunkts von Gf an. [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] G d) Berechnen Sie f(-5) und f(-1,5) und skizzieren sie Gf unter Berücksichtigung der Ergebnisse in Abbildung 1. [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] G

Aufgabe 2 Gegeben ist die Funktion $h(x)= \frac{3}{e^{x+1} -1}$ mit Definitionsbereich Dh = ]-1;+∞[. Abbildung 2 zeigt den Graph Gh von h. 350px a) Begründen Sie anhand des Funktionsterms, dass $\lim_{x\to\infty}h(x)= 0$ gilt. Zeigen Sie rechnerisch für x ∈ Dh, dass für die Ableitung h′ von h gilt: h′(x)<0. Gegeben ist ferner die in Dh definierte Integralfunktion H0:$\int_{x}^{0} h (t)\,dt$ . [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] 700px b) Begründen Sie ohne weitere Rechnung, dass folgende Aussagen wahr sind: α) Der Graph von H0 ist streng monoton steigend. β) Der Graph von H0 ist rechtsgekrümmt. [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] 700px c) Geben Sie die Nullstelle von H0 an und bestimmen Sie näherungsweise mithilfe von Abbildung 2 die Funktionswerte H0 (-0,5) sowie H0 (3). Skizzieren Sie in Abbildung 2 den Graphen von H0 im Bereich -0,5 ≤ x ≤ 3. [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] 700px

Aufgabe 3 In einem Labor wird ein Verfahren zur Reinigung von mit Schadstoffen kontaminiertem Wasser getestet. Die Funktion h aus Aufgabe 2 beschreibt für x ≥ 0 modellhaft die zeitliche Entwicklung des momentanen Schadstoffabbaus in einer bestimmten Wassermenge. Dabei bezeichnet h(x) die momentane Schadstoffabbaurate in Gramm pro Minute und x die seit Beginn des Reinigungsvorgangs ergangene Zeit in Minuten. a) Bestimmen Sie auf der Grundlage des Modells den Zeitpunkt x, zu dem die momentane Schadstoffabbaurate auf 0,01 Gramm pro Minute zurückgegangen ist. Die in IR \ { -3; -1 } definierte Funktion $k(x) = 3 \cdot (\frac{1}{x+1} - \frac{1}{x+3}) -0,2$ stellt im Bereich -0,5 ≤ x ≤ 2 eine gute Näherung für die Funktion h dar. [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] 700px b) Beschreiben Sie, wie der Graph der Funktion k aus dem Graphen der Funktion f aus Aufgabe 1 hervorgeht. [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] 700px c) Berechnen Sie einen Näherungswert für $\int_{0}^{1} h (x)\,dx$, indem Sie den Zusammenhang $\int_{0}^{1} h (x)\,dx$ ≈ $\int_{0}^{1} k (x)\,dx$ verwenden. Geben Sie die Bedeutung dieses Werts im Sachzusammenhang an. [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] 700px