Abi 2014 Analysis I Teil B

Mathematik (Bayern): Abiturprüfung 2017 Analysis I - Teil B Download der Originalaufgaben - Lösung zum Ausdrucken

Gegeben ist die Funktion $f : x \mapsto 2 - \sqrt{12 - 2x}$ mit maximaler Definitionsmenge Df = ]-∞;6]. Der Graph von f wird mit Gf bezeichnet. Aufgabe 1 a) Berechnen Sie die Koordinaten der Schnittpunkte von Gf mit den Koordinatenachsen. Bestimmen Sie das Verhalten von f für x→-∞ und geben Sie f(6) an. b) Bestimmen Sie den Term der Ableitungsfunktion f' von f und geben Sie die maximale Definitionsmenge von f´ an. Bestimmen Sie $\lim_{x \to 6} f'(x)$ und beschreiben Sie, welche Eigenschaft von Gf aus diesem Ergebnis folgt. (zur Kontrolle: $f'(x) = \frac{1}{\sqrt{12-2x}}$) c) Geben Sie das Monotonieverhalten von Gf und die Wertemenge von f an. d) Geben Sie f(-2) an und zeichnen Sie Gf unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse in ein Koordinatensystem ein (Platzbedarf im Hinblick auf die folgenden Aufgaben: -3 ≤ y ≤ 7 ). e) Die Funktion f ist in Df umkehrbar. Geben Sie die Definitionsmenge der Umkehrfunktion f-1 von f an und zeigen Sie, dass $f^{-1}(x) = -\frac{1}{2}x^2+2x+4$ gilt. [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] 700px

Der Graph der in IR definierten Funktion $h : x\mapsto -\frac{1}{2}x^2+2x+4$ ist die Parabel Gh. Der Graph der in Aufgabe 1e betrachteten Umkehrfunktion f-1 ist ein Teil dieser Parabel. Aufgabe 2 a) Berechnen Sie die Koordinaten der Schnittpunkte von Gh mit der durch die Gleichung y = x gegebenen Winkelhalbierenden w des I. und III. Quadranten. (Teilergebnis: x-Koordinaten der Schnittpunkte: -2 und 4) b) Zeichnen Sie die Parabel Gh – unter Berücksichtigung des Scheitels – im Bereich -2 ≤ x ≤ 4 in Ihre Zeichnung aus Aufgabe 1d ein. Spiegelt man diesen Teil von Gh an der Winkelhalbierenden w, so entsteht eine herzförmige Figur; ergänzen Sie Ihre Zeichnung dementsprechend. [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] 700px

Aufgabe 3 Durch die in Aufgabe 2 entstandene herzförmige Figur soll das abgebildete Blatt modellhaft beschrieben werden. Eine Längeneinheit im Koordinatensystem aus Aufgabe 1d soll dabei 1cm in der Wirklichkeit entsprechen. a) Berechnen Sie den Inhalt des von Gh und der Winkelhalbierenden w eingeschlossenen Flächenstücks. Bestimmen Sie unter Verwendung dieses Werts den Flächeninhalt des Blatts auf der Grundlage des Modells. b) Ermitteln Sie die Gleichung der Tangente an Gh im Punkt (-2|h(-2)). Berechnen Sie den Wert, den das Modell für die Größe des Winkels liefert, den die Blattränder an der Blattspitze einschließen. c) Der Verlauf des oberen Blattrands wird in der Nähe der Blattspitze durch das bisher verwendete Modell nicht genau genug dargestellt. Daher soll der obere Blattrand im Modell für -2 ≤ x ≤ 0 nicht mehr durch Gh, sondern durch den Graphen Gk einer in IR definierten ganzrationalen Funktion k dritten Grades beschrieben werden. Für die Funktion k werden die folgenden Bedingungen gewählt (k' und h' sind die Ableitungsfunktionen von k bzw. h): I k(0)=h(0) II k'(0)=h'(0) III k(-2)=h(-2) IV k'(-2)=1,5 Begründen Sie im Sachzusammenhang, dass die Wahl der Bedingungen I, II und III sinnvoll ist. Machen Sie plausibel, dass die Bedingung IV dazu führt, dass die Form des Blatts in der Nähe der Blattspitze im Vergleich zum ursprünglichen Modell genauer dargestellt wird. [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] 700px