Abi 2014 Analysis II Teil B

Mathematik (Bayern): Abiturprüfung 2014 Analysis II - Teil B Download der Originalaufgaben - Lösung zum Ausdrucken

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) = \frac{20x}{x^2-25}$ und maximalem Definitionsbereich Df. Die Abbildung zeigt einen Teil des Graphen Gf von f. Aufgabe 1 a) Zeigen Sie, dass Df=IR \ {-5;5} gilt und dass Gf symmetrisch bezüglich des Koordinatenursprungs ist. Geben Sie die Nullstelle von f sowie die Gleichungen der drei Asymptoten von Gf an. b) Weisen Sie nach, dass die Steigung von Gf in jedem Punkt des Graphen negativ ist. Berechnen Sie die Größe des Winkels, unter dem Gf die x-Achse schneidet. c) Skizzieren Sie in der Abbildung den darin fehlenden Teil von Gf unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse. d) Die Funktion $f^* : x \mapsto f(x)$ mit Definitionsbereich ]5;+∞[ unterscheidet sich von der Funktion f nur hinsichtlich des Definitionsbereichs. Begründen Sie, dass die Funktion f nicht umkehrbar ist, die Funktion f* dagegen schon. Zeichnen Sie den Graphen der Umkehrfunktion von f* in die Abbildung ein. e) Der Graph von f, die x-Achse sowie die Geraden mit den Gleichungen x=10 und x=s mit s>10 schließen ein Flächenstück mit dem Inhalt A(s) ein. Bestimmen Sie A(s). (Ergebnis: $A(s) = 10 \cdot ln\frac{s^2-25}{75}$ ) f) Ermitteln Sie s so, dass das Flächenstück aus Aufgabe 1e den Inhalt 100 besitzt. g) Bestimmen Sie das Verhalten von A(s) für s→+∞ . [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] 700px

Aufgabe 2 Ein Motorboot fährt mit konstanter Motorleistung auf einem Fluss eine Strecke der Länge 10 km zuerst flussabwärts und unmittelbar anschließend flussaufwärts zum Ausgangspunkt zurück. Mit der Eigengeschwindigkeit des Motorboots wird der Betrag der Geschwindigkeit bezeichnet, mit der sich das Boot bei dieser Motorleistung auf einem stehenden Gewässer bewegen würde. Im Folgenden soll modellhaft davon ausgegangen werden, dass die Eigengeschwindigkeit des Boots während der Fahrt konstant ist und das Wasser im Fluss mit der konstanten Geschwindigkeit $5\frac{km}{h}$ fließt. Die für das Wendemanöver erforderliche Zeit wird vernachlässigt. Die Gesamtfahrtzeit in Stunden, die das Boot für Hinfahrt und Rückfahrt insgesamt benötigt, wird im Modell für x>5 durch den Term $t(x) = \frac{10}{x+5}+\frac{10}{x-5}$ angegeben. Dabei ist x die Eigengeschwindigkeit des Boots in $\frac{km}{h}$. a) Bestimmen Sie auf der Grundlage des Modells für eine Fahrt mit einer Eigengeschwindigkeit von $10\frac{km}{h}$ und für eine Fahrt mit einer Eigengeschwindigkeit von $20\frac{km}{h}$ jeweils die Gesamtfahrtzeit in Minuten. b) Begründen Sie, dass der erste Summand des Terms t(x) die für die Hinfahrt, der zweite Summand die für die Rückfahrt erforderliche Zeit in Stunden angibt. c) Begründen Sie im Sachzusammenhang, dass t(x) für 0 < x < 5 nicht als Gesamtfahrtzeit interpretiert werden kann. d) Zeigen Sie, dass die Terme f(x) und t(x) äquivalent sind. e) Beschreiben Sie, wie man mithilfe der Abbildung für eine Fahrt mit einer Gesamtfahrtzeit zwischen zwei und vierzehn Stunden die zugehörige Eigengeschwindigkeit des Boots näherungsweise ermitteln kann. Berechnen Sie auf der Grundlage des Modells die Eigengeschwindigkeit des Boots für eine Fahrt mit einer Gesamtfahrtzeit von vier Stunden. [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] 700px