Abi 2013 Analysis I Teil B

Mathematik (Bayern): Abiturprüfung 2013 Analysis I - Teil B Download der Originalaufgaben - Lösung zum Ausdrucken

Aufgabe 1 Gegeben ist die in IR definierte Funktion $f:x \mapsto 2x \cdot e^{-0,5x^{2}}$. Abbildung 2 zeigt den Graphen Gf von f. a) Weisen Sie rechnerisch nach, dass Gf punktsymmetrisch bezüglich des Koordinatenursprungs ist, und machen Sie anhand des Funktionsterms von f plausibel, dass $\lim_{x\to\infty} f(x)=0$ gilt. [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] b)Bestimmen Sie rechnerisch Lage und Art der Extrempunkte von Gf. zur Kontrolle $f':x= 2e^{-0,5x^{2}} \cdot (1-x^{2})$ y-Koordinate des Hochpunkts: $\frac{2}{\sqrt{e}}$ [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] c) Berechnen Sie die mittlere Änderungsrate mS von f im Intervall [0,5; 0,5] sowie die lokale Änderungsrate mT von f an der Stelle x = 0 . Berechnen Sie, um wie viel Prozent mS von mT abweicht. [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] d) Der Graph von f, die x-Achse und die Gerade x = u mit u ∈ IR+ schließen für 0 ≤ x ≤ u ein Flächenstück mit dem Inhalt A(u) ein. Zeigen Sie, dass $A(u)=2-2e^{-0,5u^{2}}$ gilt. Geben Sie $\lim_{u\to\infty} A(u)$ an und deuten Sie das Ergebnis geometrisch. [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] e) Die Ursprungsgerade h mit der Gleichung $y=\frac{2}{e^{2}} \cdot x$ schließt mit Gf für x≥0 ein Flächenstück mit dem Inhalt B vollständig ein. Berechnen Sie die x-Koordinaten der drei Schnittpunkte der Geraden h mit Gf und zeichnen Sie die Gerade in Abbildung 2 ein. Berechnen Sie B. (Teilergebnis x-Koordinaten eines Schnittpunkts: 2) [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

Im Folgenden wird die Schar der in IR definierten Funktionen gc(x) = f(x)+c mit c ∈ IR betrachtet. 2 a)Geben Sie in Abhängigkeit von c ohne weitere Rechnung die Koordinaten des Hochpunkts des Graphen von gc sowie das Verhalten von gc für x→+∞ an. [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] b)Die Anzahl der Nullstellen von gc hängt von c ab. Geben Sie jeweils einen möglichen Wert von c an, sodass gilt: α) gc hat keine Nullstelle. β) gc hat genau eine Nullstelle. γ) gc hat genau zwei Nullstellen. [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] c) Begründen Sie für c > 0 anhand einer geeigneten Skizze, dass $\int_{0}^{3} g_{c}(x)\,dx = \int_{0}^{3} f(x)\,dx + 3c$ gilt. [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] 700px

3 Die Anzahl der Kinder, die eine Frau im Laufe ihres Lebens durchschnittlich zur Welt bringt, wird durch eine sogenannte Geburtenziffer angegeben, die jedes Jahr statistisch ermittelt wird. Die Funktion $g_{1,4}: x \mapsto 2x \cdot e^{-0,5x^{2}}+1,4$ beschreibt für x≥0 modellhaft die zeitliche Entwicklung der Geburtenziffer in einem europäischen Land. Dabei ist x die seit dem Jahr 1955 vergangene Zeit in Jahrzehnten (d. h. x = 1 entspricht dem Jahr 1965) und g1,4(x) die Geburtenziffer. Damit die Bevölkerungszahl in diesem Land langfristig näherungsweise konstant bleibt, ist dort eine Geburtenziffer von etwa 2,1 erforderlich. a) Zeichnen Sie den Graphen von g1,4 in Abbildung 2 ein und ermitteln Sie graphisch mit angemessener Genauigkeit, in welchem Zeitraum die Geburtenziffer mindestens 2,1 beträgt. [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] b) Welche künftige Entwicklung der Bevölkerungszahl ist auf der Grundlage des Modells zu erwarten? Begründen Sie Ihre Antwort. [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] c) Im betrachteten Zeitraum gibt es ein Jahr, in dem die Geburtenziffer am stärksten abnimmt. Geben Sie mithilfe von Abbildung 2 einen Nähe- rungswert für dieses Jahr an. Beschreiben Sie, wie man auf der Grundla- ge des Modells rechnerisch nachweisen könnte, dass die Abnahme der Geburtenziffer von diesem Jahr an kontinuierlich schwächer wird. [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]