Abi 2013 Analysis II Teil B

Mathematik (Bayern): Abiturprüfung 2013 Analysis II - Teil B Download der Originalaufgaben - Lösung zum Ausdrucken

1 Gegeben ist die Funktion $f:x \mapsto \frac{1}{2}x-\frac{1}{2}+\frac{8}{x+1}$ mit Definitionsbereich IR\{1}. Abbildung 2 zeigt den Graphen Gf von f. a) Geben Sie die Gleichungen der Asymptoten von Gf an und zeigen Sie rechnerisch, dass Gf seine schräge Asymptote nicht schneidet. Zeichnen Sie die Asymptoten in Abbildung 2 ein. [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] b) Bestimmen Sie rechnerisch Lage und Art der Extrempunkte von Gf . [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

2 Abbildung 2 legt die Vermutung nahe, dass Gf bezüglich des Schnittpunkts P(-1/-1) seiner Asymptoten symmetrisch ist. Zum Nachweis dieser Symmetrie von Gf kann die Funktion g betrachtet werden, deren Graph aus Gf durch Verschiebung um 1 in positive x-Richtung und um 1 in positive y-Richtung hervorgeht. a) Bestimmen Sie einen Funktionsterm von g. Weisen Sie anschließend die Punktsymmetrie von Gf nach, indem Sie zeigen, dass der Graph von g punktsymmetrisch bezüglich des Koordinatenursprungs ist. (Teilergebnis: $g(x) = \frac{1}{2}x+\frac{8}{x}$ ) [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] b) Zeigen Sie, dass $\int_{0}^{4} f (x)\,dx = 2+8 \cdot ln5$ gilt. Bestimmen Sie nun ohne weitere Integration den Wert des Integrals $\int_{-6}^{-2} f (x)\,dx$; Veranschaulichen Sie ihr Vorgehen durch geeignete Eintragungen in Abbildung 2. [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

3 Eine vertikal stehende Getränkedose hat die Form eines geraden Zylinders. Die Lage des gemeinsamen Schwerpunkts S von Dose und enthaltener Flüssigkeit hängt von der Füllhöhe der Flüssigkeit über dem Dosenboden ab. Ist die Dose vollständig gefüllt, so beträgt die Füllhöhe 15 cm. Die bisher betrachtete Funktion f gibt für 0 ≤ x ≤ 15 die Höhe von S über dem Dosenboden in Zentimetern an; dabei ist x die Füllhöhe in Zentimetern (vgl. Abbildung 3). a) Berechnen Sie f (0) und f (15). Interpretieren Sie die beiden Ergebnisse im Sachzusammenhang. [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] b) Die zunächst leere Dose wird langsam mit Flüssigkeit gefüllt, bis die maximale Füllhöhe von 15 cm erreicht ist. Beschreiben Sie mithilfe von Abbildung 2 die Bewegung des Schwerpunkts S während des Füllvorgangs. Welche Bedeutung im Sachzusammenhang hat die Tatsache, dass x-Koordinate und y-Koordinate des Tiefpunkts von Gf übereinstimmen? [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] c) Für welche Füllhöhen x liegt der Schwerpunkt S höchstens 5 cm hoch? Beantworten Sie diese Frage zunächst näherungsweise mithilfe von Abbildung 2 und anschließend durch Rechnung. [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]