Abi 2012 Analysis I Teil B

Mathematik (Bayern): Abiturprüfung 2012 Analysis I - Teil B Download der Originalaufgaben - Lösung zum Ausdrucken

Gegeben ist die Funktion $f:x \mapsto \frac{2e^{x}}{e^{x}+9}$ mit Definitionsbereich IR. Abbildung 2 zeigt den Graphen Gf von f. Aufgabe 1 a) Zeigen Sie rechnerisch, dass Gf genau einen Achsenschnittpunkt S besitzt und geben Sie die Koordinaten von S an. [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] 700px b) Begründen Sie mithilfe des Funktionsteams von f, dass $\lim_{x\to- \infty} f(x)=0$ und $\lim_{x\to+ \infty} f(x)=2$ gilt. [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] 700px c) Weisen Sie rechnerisch nach, dass Gf in IR streng monoton steigt. (zur Kontrolle: $f'(x) = \frac{18e^{x}}{(e^{x}+9)^{2}}$) [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] 700px d) Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente an Gf im Achsenschnittpunkt S. (Ergebnis: y= 0,18x+0,2) [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] 700px e) Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die Gf mit den Koordinatenachsen und der Geraden x=4 einschließt. [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] 700px f) Begründen Sie, dass f in IR umkehrbar ist. Gebe Sie den Definitionsbereich und den Wertebereich der Umkehrfunktion f-1 an und zeichnen Sie den Graphen von f-1 in Abbildung 2 ein. [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] 700px Aufgabe 2 Das Wachstum von Sonnenblumen der Sorte Alba lässt sich modellhaft mithilfe der Funktion f beschreiben. Beginnt man die Beobachtung zwei Wochen nach der Auskeimung einer Sonnenblume dieser Sorte, so liefert f(x) für x∈[0;4] im Modell die Höhe der Blume in Metern. Dabei ist x die seit Beobachtungsbeginn vergangene Zeit in Monaten. In den Aufgaben 2a bis 2d werden ausschließlich Sonnenblumen der Sorte Alba betrachtet. a) Berechnen Sie auf der Grundlage des Modells, um wie viele Zentimeter eine Sonnenblume innerhalb der ersten zwei Monate nach Beobachtungsbeginn wächst. [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] 700px b) Berechnen Sie auf der Grundlage des Modells, wie viele Monate nach Beobachtungsbeginn eine Sonnenblume eine Höhe von 1,5 Metern erreicht. Beschreiben Sie, wie man den berechneten Wert graphisch überprüfen kann. [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] 700px c) Im Modell gibt es einen Zeitpunkt xM, zu dem die Blumen am schnellsten wachsen. Bestimmen Sie mithilfe von Abbildung 2 einen Näherungswert für xM. Ermitteln Sie anschließend einen Näherungswert für die maximale Wachstumsrate in Zentimetern pro Tag. [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] 700px d) Ein Biologe nimmt an, dass sich das Wachstum der Blumen vor Beobachtungsbeginn näherungsweise durch die Gleichung der Tangente aus Aufgabe 1d beschreiben lässt. Untersuchen Sie mithilfe einer Rechnung, ob diese Annahme damit in Einklang steht, dass vom Zeitpunkt des Auskeimens bis zum Beobachtungsbeginn etwa zwei Wochen vergehen. [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] 700px Haben zu Beobachtungsbeginn Sonnenblumen der Sorte Tramonto die gleiche Höhe wie Sonnenblumen der Sorte Alba, so erreichen von da an die Sonnenblumen der Sorte Tramonto im Vergleich zu denen der Sorte Alba jede Höhe in der Hälfte der Zeit. Das Wachstum von Sonnenblumen der Sorte Tramonto lässt sich modellhaft mithilfe einer in IR definierten Funktion g beschreiben, die eine Funktionsgleichung der Form I, II oder III mit k∈ IR+ besitzt: I $y= \frac{2e^{x+k}}{e^{x+k}+9}$ II $y= k \cdot \frac{2e^{x}}{e^{x}+9}$ III $y= \frac{2e^{kx}}{e^{kx}+9}$ e) Begründen Sie, dass weder eine Gleichung der Form I noch eine der Form II als Funktionsgleichung von g infrage kommt. [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] 700px f) Die Funktionsgleichung von g hat also die Form III. Geben Sie den passenden Wert von k an. [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] 700px